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探究抽象函数论文
探究抽象函数论文 摘要：抽象函数是函数中的一类综合性较强的问题。这类问题不仅能考查学生 的数学基础知识，更能考查学生的数学综合能力。关键词：抽象函数；
定义域；
值域；
对称性 抽象函数是一种重要的数学概念。我们把没有给出具体解析式，其一般形 式为y=f(x)，且无法用数字和字母的函数称为抽象函数。由于抽象函数的问题通 常将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性和图像集于一身。这类问题 考查学生对数学符号语言的理解和接受能力、对一般和特殊关系的认识以及数学 的综合能力。
一、抽象函数的定义域 例1已知函数f(x)的定义域为[1,3]，求出函数g(x)=f(x+a)+f(x-a)（a＞0）的 定义域。
解析：由由a＞0 知只有当0＜a＜1时，不等式组才有解，具体为{x|1+a＜x≤3-a；
否则不等 式组的解集为空集，这说明当且仅当0＜a＜1时，g(x)才能是x的函数，且其定义 域为（1+a,3-a]。
点评：1.已知f(x)的定义域为[a,b]，则f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b，解出x 即可得解；
2.已知f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域即是g(x)在x[a,b]上的值 域。
二、抽象函数的值域 解决抽象函数的值域问题――由定义域与对应法则决定。
例2若函数y=f(x+1)的值域为[-1，1]求y=(3x+2)的值域。
解析：因为函数y=f(3x+2)中的定义域与对应法则与函数y=f(x+1)的定义域 与对应法则完全相同，故函数y=f(3x+2)的值域也为[-1，1]。
三、抽象函数的奇偶性四、抽象函数的对称性 例3已知函数y=f(2x+1)是定义在R上的奇函数，函数y=g(x)的图像与函数 y=f(x)的图像关于y=x对称,则g(x)+g(-x)的值为（） A、2 B、0 C、1 D、不能确定 解析：由y=f(2x+1)求得其反函数为y=，∵y=f(2x+1)是奇函数，∴y=也是 奇函数，∴。∴，，而函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y=x对称，∴ g(x)+g(-x)=故选A。
五、抽象函数的周期性 例4、（2009全国卷Ⅰ理）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则() (A)是偶函数(B)是奇函数(C)(D)是奇函数 解:∵与都是奇函数，， 函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数。故选D 定理1.若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件f(x＋a)=f(x－b)，则y=f(x)是以 T=a＋b为周期的周期函数。
定理2.若函数y=f(x)定义域为R，且满足条件f(x＋a)=－f(x－b)，则y=f(x) 是以T=2（a＋b）为周期的周期函数。
定理3.若函数y=f(x)的图像关于直线x=a与x=b（a≠b)对称，则y=f(x)是以 T=2(b－a)为周期的周期函数。
定理4.若函数y=f(x)的图像关于点（a,0)与点(b,0),(a≠b)对称，则y=f(x)是以 T=2(b－a)为周期的周期函数。
定理5.若函数y=f(x)的图像关于直线x=a与点(b,0),(a≠b)对称，则y=f(x)是以 T=4(b－a)为周期的周期函数。
性质1：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)=f(b＋x)(a≠b,ab≠0),则函数 f(x)有周期2(a－b)；
性质2：若函数f(x)满足f(a－x)=－f(a＋x)及f(b－x)=－f(b＋x)，(a≠b,ab≠0), 则函数有周期2(a－b). 特别：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)（a≠0）且f(x)是偶函数，则函数f(x) 有周期2a. 性质3：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)及f(b－x)=－f(b＋x)(a≠b,ab≠0)，则 函数有周期4(a－b). 特别：若函数f(x)满足f(a－x)=f(a＋x)（a≠0）且f(x)是奇函数，则函数f(x) 有周期4a。
从以上例题可以发现，抽象函数的考查范围很广，能力要求较高。但只要 对函数的基本性质熟，掌握上述有关的结论和类型题相应的解法，则会得心应手。
