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张新鹤 东北电力大学自动化工程学院 吉林 132000
【文章摘要】
奇异性信号往往带有一些重要信息, 小波是奇异性检测的一种有力工具。本文通过小波变换模极大值法对信号的消噪处理和奇异性检测，并对几种常见小波进行不同奇异性信号的检测效果对比，并实际应用于电压骤变信号的分析。
【关键词】
小波变换模极大值; 消噪处理; 奇异性检测; 电压骤变信号
奇异性信号是指信号本身或它的某阶导数在某一时刻存在突变的信号。在许多领域，诸如在故障诊断领域中，信号的奇异点往往反映了故障引起系统的撞击、振荡和断裂等，如电压信号的骤变往往象征着系统的不稳定性。因此，对奇异性信号的检测尤为重要。其中信号的奇异性检测分为消噪处理和奇异点检测。奇异性检测就是要将信号的奇异点识别出来并判断其奇异性程度。本文基于小波奇异性检测理论, 首先对含有噪声的信号采用小波变换模极大值法进行消噪，其次以对奇异性指数计算的有效性为依据，判断奇异性检测的效果，最后用于实际电压骤变信号的比较，针对不同的奇异性信号, 推荐出了优先选用的小波基。
1 信号奇异性检测与小波变换的模极大值
定义1 ， 如若，则称点（s0， t0）是局部极值点。其中
(1)
如图所示，具体的体现了原函数x(t) 和小波变换函数Wx(s,t) 之间的关系， 若对t0 的任意邻域内的任意点t，存在|Ws(s0,t)|<|Ws(s0,t0)|，则称点（s0，t0）为检测信号的模极值点，如图1 所示函数x(t) 的突变点和模极大值之间的关系。
图1 函数x(t) 奇异点和模极大值线的对比图
2 信号的消噪算法
消噪处理的小波变换模极大值运算步骤如下:
(1) 对含有噪声的信号运用二进制小波变换进行消噪处理，在多尺度下进行空间传播并确定最佳的分解层数n。
(2) 求取小波变换分解的层数和模极大值的幅值和位置，并根据分解的层数对模极大值幅值的比较。
(3) 采用二进制小波变换的模极大值点的方法对噪声进行处理，通过尺度分解和阈值的确定判定在最佳尺度下显示效果最佳的模极点的位置和幅值。
设定模极值点的幅值为A。在进行消噪处理中，随着小波分解层数的增加导致模极大值幅值的放大和信号稠密度的减小，从而在最大尺度下可清晰地显示出有用信号的模极值幅值，幅值相对较小的模极值点是由噪声信号在次级分解尺度中产生的。设定的阈值为
(2) J 为小波变换的最大尺度，Z 为2，N 为噪声功率。根据阈值T 可将二进制变换上的幅值小于模极值幅值的就直接剔除。
(4) 对消噪后信号采用交替投影法进行重构处理。
(5) 采用小波变换的模极值方法对重构后的信号和原始信号进行比较。
3 基于小波变换的模极大值的信号重构
信号中的突变点也就是奇异点具备原始信号的重要信息，可通过在多尺度空间的传播而体现。由小波变换可知，噪声多处于高频部分，所以主要研究的关注点就集合在高频信号中。
由图所示，设物理量是在上的投影， 是在V 上的投影，是两个空间的交叉投影，对于任意的函数时间序列, 而言，收敛到中。其中与原始信号中小波变换具有的相同模极值。交替投影迭代算法如图2 所示。
图2 交替投影迭代算法
4 信号奇异性的小波检测原理
因为低通函数的导数为带通函数，即为。也就是为小波变换的基本小波，信号函数f(t) 在尺度因子a 下对应的小波函数为。
信号函数f(t) 对应于的小波变换是
(3)
(4)
由此得知，小波变换Wf(a,t) 与Wf2(a,t) 分别代表了函数f(t) 在尺度a 下的函数某阶导数。因此，用模极大值检测信号的奇异性位置更为合理性。
在的一阶导数作为母小波的小波变换时候，对应在各个尺度下的模极大值也就是找寻的信号奇异点的位置所在。就理论而言，尺度与的平滑性都越小模极大值找寻的奇异点位置越精确。但是在实际中，小尺度下分解的小波受到噪声污染的程度很大，会增加很多的误差点，仅凭借一个尺度下的分解是不能够准确的定位奇异点位置。同理，如果进行较大尺度的分解，是对噪声进行了一定程度的平滑消噪，奇异点的位置稳定，但是过度的平滑使小波一定量的失真。于是只能在适当的尺度下分解小波才能避免小波变换的奇异点免收干扰。因此，在采用小波变换模极大值定位信号中奇异点的位置时，需要进行多尺度下的结合比较来全方位的观察。
由此可见，若把小波函数当作的一阶导数时，小波变换的局部极值点对应信号的奇异点或是边界点；若把小波函数当作的二阶导数时，小波变换的过零点对应的信号奇异点或是边界点，的拐点对应函数的极值点，|Wf(a,t)| 的极值点反应信号变化快慢的位置。
不同小波基函数对于奇异性检测的准确度是各显不同的，在小波中奇异性的表达方式和Lip 指数的大小。因此，采用多种小波基函数进行奇异性检测效果计较， 以便实现在实际工作中不同目的的应用， 列举出常见小波函数的方程：
Morlet 小波及其傅里叶变换：
； (5)
Gauss 小波及其傅里叶变换：
； (6)
墨西哥帽小波及其傅里叶变换：
； (7)
二次B 样条小波傅里叶变换：
(8)
【参考文献】
[1] 姜鹏. 小波理论在信号去噪和数据压缩中的应用研究:[ 博士论文]. 杭州：浙江大学,2009,35(1):144 ～ 148
[2] 孙延奎. 小波分析及其应用. 机械工业出版社，2004,21:211 ～ 216
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[4] 周国辉. 基于小波变换的电能质量动态扰动自动识别. 电力自动化,2007,23(9):306 ～ 307013
