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函数最值得求解的方法
函数最值得求解的方法 函数最值的讨论是高中数学的难点,类型多且比较灵活,因而在高考当中较 容易失分,所以把握好类型与解决方法是处理好这类问题的关键。一 求函数最值的常用方法有: 1.配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变 量的取值范围确定函数的最值.形如 的函数值域均可用此法,要特别注意自变量 的范围. 2分离常数法:将函数解析式化成含有一个常数和含有 的表达式,利用自变 量取值范围确定表达式取值范围。形如 的函数的值域,均可以使用此法,此外这种 函数的值域也可以利用反函数法,利用反函数的定义域进行值域的求解。
3.判别式法:把函数转化成关于的二次方程 ,通过方程有实根,判别式 ,从 而求得原函数的值域。形如 的函数的值域常用此法解决。
注意事项:①函数定义域为R;②分子、分母没有公因式。
4.不等式法:利用基本不等式取等号确定函数的最值,常用不等式有: ① 当且仅当a = b时,“=”号成立;
② 当且仅当a = b时,“=”号成立;
③ 当且仅当a = b = c时,“=”号成立;
④ ,当且仅当a = b = c时,“=”号成立. 注意事项:①基本不等式求最值时一定要注意应用的条件是“一正二定三 等”. ②熟悉一个重要的不等式链: 5.换元法:运用代数或者三角代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函 数,从而求得原函数的值域。形如 的函数等常用此法解决. 注意事项:换元法使用时一定要注意新变元的取值范围.6.数形结合法:当一个函数图象较容易作出时,通过图像可以求出其值域和 最值;或利用函数所表示的几何意义,借助几何方法求出函数的值域。例如距离、 斜率等. 注意事项:1 函数单调性问题必须先在讨论定义域条件下进行。
2函数的单调性的判断方法有定义法,导数判断法等方法。
二 函数最值求解例析 例1 求下列函数的值域: 解:(1)方法一(分离常数法)由 知 , 所以函数值域为 方法二(反函数法)由 ,得 ,所以 即 所以函数值域为 (2)方法一(换元法)设 ,得 , 方法二(函数单调性法) 注:函数 的单调性也可以用导数法进行判断( ). (3)方法一(判别式法) 。
, 所以函数值域为 。
方法二(不等式法) 。
(4)方法一(基本不等式法)由 得 即 或 ,所以函数的值域为 方法二(判别式法) 由 得 。
方程有实根, 解得 或 ,所以函数的值域为 方法三(函数单调性法)由 得 所以当 和 时, 所以函数在 和 上是减少的, 当nbs 所以 所以函数的值域为 注:函数 图象及性质 (1)函数 图象: (2)函数 性质: ①值域: ;
②单调递增区间: , ;
单调递减区间: , . 例2对 ,记 ,函数 的最小值是( ) A C D 解法一(图像法): 函数 的图像如图所示,由图像可得,其最小值为 。[来源:Z,xx,k.Com]解法二(零点分区间讨论法): 当x﹣1时,|x+1|=﹣x﹣1,|x﹣2|=2﹣x, 2﹣x﹣x﹣1;
当﹣1≤x 时,|x+1|=x+1,|x﹣2|=2﹣x, x+12﹣x;
当 x2时,|x+1|=x+1,|x﹣2|=2﹣x,x+12﹣x;
当x≥2时,|x+1|=x+1,|x﹣2|=x﹣2, x+1x﹣2;
故 ,故函数最小值为 . 例3 设函数 ,求 在区间 上的最大值 和最小值 。
解:(函数单调性法) 由于 ,所以 , 由 所以函数 在区间 上是减少的;在区间 上是增加的。又由于 所以: , 三 训练 1 下列函数中,值域是(0,+∞)的是( ) A、 B、 C、y=x2+x+1 D、 2 函数 的值域是( ) A、(﹣∞,﹣1) B、(﹣∞,0)∪(0,+∞) C、(﹣1,+∞) D、(﹣∞,﹣1)∪(0,+∞) 3 函数 的值域是4 函数 的值域为 5 函数 的最大值是 ,最小值是
