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王 飞
在传统的数学教学中，数学史一般作为向学生进行爱国主义教育、理想教育的材料，也就是把数学史作为了数学教学的“花絮”。这种认识是片面的，《普通高中数学课程标准（实验）》中指出通过数学史的学习使学生“体会数学对人类文明发展的作用，提高学习数学的兴趣，加深对数学的理解，感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神。”数学课程标准已把数学史作为理解数学的一种有效途径，成为数学教学的一种工具。以下就数学史的教育功能作一探讨：
一、数学史有利于培养学生学习数学的兴趣，激发学生学习数学的动机
爱因斯坦（Albert Einstein 1879～1955）说：“兴趣是最好的老师，它永远胜于责任心”。兴趣是人的情意领域（情感、态度、兴趣和价值观）中最为活跃的成分，它的形成有利于激发学生学习的主动性。但在学校的数学教学中，由于受社会整体价值观的影响，单纯的功利性价值取向表现的十分明显：为应付各种考试，为获取好成绩高分数，这几乎成了数学教学的唯一的动力和目标。填鸭式的教学、题海战术在各个学校都已司空见惯，以至于部分学生努力学习的同时，逐渐感到厌烦、冷漠数学，这些都极大的影响了学生学习的效果。但这并不是因为数学本身无趣，而是它被我们的教学所忽视了。
数学并不是一门枯燥呆板的学科，而是一门不断进步的生动有趣的学科，特别是那些为数学拼搏一生、奉献一生的数学家的故事，多少年来一直激励着无数的数学学习者。法国数学家泰尔凯认为：“叙述数学家如何跌跤，如何在迷雾中摸索前进，并且融合零零碎碎的得到他们的成果，应能使任一搞研究工作的新手鼓起勇气。”例如在实习期间，讲圆周率的时候，我提到这样一个事实：在遥远的月亮背面上有一座环行山，它是以我国古代数学家——祖冲之的名字来命名的。祖冲之（公元430年～501年）是我过南北朝时代杰出的数学家、天文学家和机械制造专家。他从小便搜集、阅读了前人大量的数学文献，并对这些资料进行了深入系统的研究，他坚持对每步计算都做亲身的考核验证，不被前人的成就所束缚，纠正其错误同时加入自己的理解和创造，推动了我国古代数学的发展。尤其在圆周率方面更是取得了骄人的成绩，他算出了名垂千古的圆周率和祖率，发现3.1415926＜π＜3.1415927，并且得到了有理数近似值， 在欧洲，一直到1585年才发现了这个有理数近似值。乘着兴头，我还让学生用古代的割圆术（即用圆的内接和外切正多边形来逼近圆的周长）证明3＜π＜3.5，取正六边形。证明：∵内接正六边形的周长＜c＜外切正六边形的周长，∴3＜π＜2＜3.5。我发现，圆周率π虽然学生久已用之，但其真正的意义以及近似值的由来不甚了解，完全有必要补课加工，既让学生了解“割圆术”及“逼近法”的思想，又可以增强爱国热情和学习的兴趣。
数学史中有很多能够培养学生兴趣的内容，主要有三个方面：
第一是与数学有关的小游戏：例如巧拿火柴棒、幻方、商人过河问题等，它们有很强的可操作性，作为课堂活动或是课后研究都可以达到很好的效果。
第二是一些历史上的数学名题，例如七桥问题、哥德巴赫猜想等，它们往往有生动的文化背景，也容易引起学生的兴趣。
第三是一些著名数学家的生平、轶事，比如说一些年轻的数学家成材的故事，数学课程标准中提到的“从阿贝尔到伽罗瓦”，阿贝尔（Abel 1802～1829）22岁证明一般五次以上代数方程不存在求根公式，伽罗瓦（Galois,Evariste 1811～1832）创建群论的时候只有18岁。还有法国数学家帕斯卡（Pascal 1623～1662），16岁成为射影几何的奠基人之一，19岁发明原始计算器；德国数学家高斯（Gauss 1777～1855）19岁解决正多边形作图的判定问题，20岁证明代数基本定理，24岁出版影响整个19世纪数论发展、至今仍相当重要的《算术研究》；还有的是许多出生贫穷卑微的数学家通过自己的艰苦努力，最终在的数学研究上有骄人成绩的例子，如19世纪的大几何学家施泰纳（Steiner 1796～1863）出身农家自幼务农，直到14岁还没有学过写字，18岁才正式开始读书，后来靠做私人教师谋生，经过艰苦努力，终于在30岁时在数学上做出重要工作，一举成名。如果在教学中加入这些学生感兴趣又有知识性的东西，消除对数学的恐惧感，增加数学的吸引力，数学学习也许就不再是被迫无奈的了。
二、数学史有利于帮助学生体会到火热的数学创造过程，有利于培养学生正确的思维方式
数学教材内容的呈现是以知识逻辑体系组织的，是形式化了的东西，因而掩去了知识的发生和发展过程，把数学发明创造的火热思考丢在了一边。这样的话，虽然利于学生接受知识，但很容易使学生产生数学知识就是先定义，接着总结性质和定理，后来解决问题的错误观点，影响了正确数学思维方式的形成。“课本中字斟句酌的叙述，未能表现出创造过程的斗争、挫折以及数学家所经历的艰苦漫长的道路。”对此，张奠宙先生认为：“数学教学的目标之一，是要把数学知识的学术形态转化为教育形态。”教师的重要任务就是反璞归真，结合具体的数学内容的教学，介绍相关数学知识，把数学形式化的逻辑链条恢复为当初数学发明创造的火热思考，展现数学家的思维过程，让学生体会到创造过程中的数学的“活”的思维，领悟数学创新过程。
数学教学要想开拓学生的思路，启迪学生的思维，培养学生良好的思维品质，必须从历史入手。通过讲解一些有关的数学历史，让学生在学习系统的数学知识的同时，对数学知识的产生过程，有一个比较清晰的认识，从而培养学生正确的数学思维方式。比如这次在初中实习教授无理数的时候，我就把数的发展向同学们作了介绍：数的演变与发展犹如一部宏伟的史诗。人类最初也没有数量的概念，在漫长的生活实践中，由于记事等的需要，才逐渐产生了自然数的概念；之后，又由于分配的需要，有了分数；为了表示相反意义的量，又产生了负数。至此，有了有理数这一个家庭，并且很长一段时期，人们认为这个家庭是圆满的。但是一件让数学家们惊讶的事情发生了：公元前五世纪，毕达哥拉斯（Pythagoras公元前约560～480）学派认为所谓直线是由不可分割的点排列而成的，因此任意两条线段的比值都是可以度量的，即可以表示为有理数。可是他们又发现，边长为1的正方形的对角线的长度不可能写成两个整数的比，这让他们不可思议，动摇了数学这座大厦的根基。这也就是所谓的第一次数学危机。直到公元前370年，这个矛盾被欧多克斯（Eudoxus）通过给比例下的新定义才得以解决，从而有了无理数，数这个家庭扩充到了实数。16世纪欧州对方程的研究达到了登峰造极的程度，如果被开方数是负数，那么数学运算就走进了死胡同，于是数学家们开始思考引进一种新的数的表示方法。意大利数学家卡尔达诺（Cardano 1501～1576）在《大衍术》一书中首次讲到了虚数，之后又规定。在很长一段时间内，不少数学家也认为数学家族的成员已经都到齐了。但到了1833年，英国数学家哈密顿（Hamilton 1805～1865）又将复数看作有序实数对，并进而研究了有序三元数组和四元数组，其中的一个历史性突破是放弃了乘法的交换率，这在当时没有人会这么想：怎么可能会有的逻辑代数呢？之后便有了格拉斯曼（Grassman 1809～1877）的更一般的有序数组，打开了现代抽象代数之门。
这样的学习可以引导学生形成一种探索与研究的习惯，去发现和认识在一个问题从产生到解决的过程中，真正创造了些什么，对这种创造过程的了解，可以让学生体会到真正的数学思维过程，从而可以在这种不断学习、不断探索、不断研究的过程中形成正确的数学思维方式。
三、数学史有利于帮助学生加深对重要数学概念的理解
读史使人明“知”。数学专业知识和历史知识是互补的，专业知识的学习需要历史知识帮助分析与思考，著名数学家外尔曾说：“如果不知道远溯古希腊各代前辈所建立和发展的概念、方法和结果，我们就不可能理解近50年来是数学的目标。”通过数学史的学习，能够帮助学生对所学内容的理解，了解文学问题、概念、定理、公式和思想方法的来龙去脉，了解对他们引入的动机和产生的后果。
例如，对于数学概念教学，鉴于数学概念形成与发展的特别，除了要讲清概念的内涵和外延，介绍概念的起源与发展也是十分必要的。比如函数概念，是由莱布尼兹（Leibniz 1646～1716）最先引进数学的，用来表示“曲线上的点的横坐标、纵坐标、切线长度的量”；后来，瑞士数学家约翰·贝努利（John Bernoulli 1667～1748）把他扩张为“由变数X和常数所构成的式子，叫X的函数”，即达朗贝尔的“解析式”；接下来的是欧拉（Euler 1707～1783）的“几何上能用曲线表示”的观点；黎曼（Riemann1826～1866）的“作为一种规律，根据它由自变量的值确定因变量的值”；最后是课本中的“对应说”、“映射说”。学生了解了函数概念的演进过程，也就理解了函数概念的性质——数集间的一种对应关系。“解析式”、“几何上能用曲线表示”等只不过是这种关系的特殊形式。同时学生在获得概念的认识活动中还体验到了数学抽象过程又是怎样完成的，透过概念的抽象规定，具体感受数学认识活动的实质，将间接经验转换为自身的数学思维能力，从根本上理解概念何以这样规定，从而达到对数学概念的深层理解。
四、数学史有利于帮助学生认识数学，了解数学的应用价值和文化价值
数学课程标准指出，数学是人类文化的重要组成部分，数学教学应当反映数学的历史，应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学科学的思想体系在人类文明史中的地位和作用，让学生了解数学的应用价值和人文价值。无疑，数学史的介绍和学习在此担当着不可替代的角色。
数学在自然学科中的应用是非常广泛的。从数学史上看，数学与和天文学一直都关系密切，海王星的发现过程就是一个很好的例子；它与物理学也密不可分，牛顿、笛卡尔等人都是著名的数学家也是著名的物理学家。在数学教学中，有很多将数学知识应用到物理学中去的例子。比如这样一个问题：放置在一块水平木板上且重量为的物体，有一股方向与水平面成角(45 o＜＜90o ＝的力牵拉该物体。若≥，则无论摩擦系数多大，该物体总会滑动，这是为什么呢？用力学知识结合数学中的三角函数的知识就能证明：因为作用于该物体向前的力为,而向后的力即摩擦力为，其中摩擦系数∈（0，1）。物体会滑动，即要有不等式＞成立——※又因为，所以只需＜成立，而45 o＜＜90o，所以＞1，又0＜＜1，所以不等式（※）成立，即物体总会向前滑动。这种物理现象通过数学的计算才真正说清了道理，学生才为之叹服，也才进一步认识到数学作为科学的皇冠的魅力所在。
不仅仅是在自然学科，数学在人文社会科学中的作用也很明显，数学史在这方面提供了大量的事例。例如，美国总统杰斐逊起草的《独立宣言》就是一个很好的例子。他借助数学的公理化模式使人们对宣言的公正性和合理性深信不疑：我们深信这些道理是不证自明的……，不仅所有的直角都相等，而且，“所有人生来都平等。如果任何一届政府不服从这些先决条件，那么人民就有权更换或废除它，英国国王乔治的政府没有满足上述条件，因此，我们宣布，这些联合起来的殖民地是，而且按正当权利应该是，自由和独立的国家。”因此，美国的独立革命被普遍认为是自然和理性战胜了谬误。数学史上这方面的事例还很多，通过数学史的介绍，能够帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，树立正确的数学观，体会数学的应用价值和文化价值。
五、数学史有利于学生从整体上把握所学知识
数学史不仅能够激发学生学习数学的兴趣，体会到数学发明创造过程中的火热思考，加深对数学概念的理解，了解它的应用价值和人文价值，而且，通过数学史的学习，能够让学生了解到数学发展的历史长河，把握数学发展的整体概貌，从而能够站在历史发展的长河之岸，鸟瞰所学知识在数学发展过程中的地位、作用，从整体上加以认识和把握，组织起结构良好的知识网络。比如学到微积分，通过数学史就会知道，它是数学发展史上的第二个高峰期，是由牛顿-莱布尼兹创立的，它为了满足工业革命的需要而产生，在力学、光学、天文学、工程技术等领域都获得巨大成功。而通常的课程介绍的是一些似乎没有关系的数学片段，而历史却可以提供整个课程的概貌，不仅使课程的内容相互联系，而且使它们跟数学思想的主干也联系起来。
在传统的数学教学中我们看到，由于学生缺乏数学史知识，虽然学了许多知识，但却不知道所学知识有何用，不知所学知识在数学学科中的历史地位和作用，这是可悲的，也是不应有的。数学家庞加莱（Poincare 1854～1912）指出：“如果我们想要预见数学的未来，适当的途径就是学习这门学科的历史和现状。”在谈到数学史对学生整体上理解和把握所学知识的意义时，丹麦数学家邹腾更进一步的指出：“学生不仅获得了一种历史感，而且，通过从新的角度看数学学科，他们将对数学产生更敏锐的理解能力和鉴赏力。”事实上，邹腾在数学教学中也是经常这样做的，很值得我们学习。
六、数学史有利于对学生进行德育教育和美育教育
学习数学史,在与古代数学家的“交谈”中领略了这些前辈的数学思想，他们的超前意识令人折服；他们的探索精神使我们钦佩；他们的合作态度使我们感动。在认识古代数学知识的同时，还有很多值得我们学习的东西。
第一，学习数学史使人学会欣赏数学的美。数学之美不象自然美、艺术美那样实在。但是无数数学家都为这种数学的美所折服。毕达哥拉斯很久以前就已论及数学与美学的关系。他在研究音乐乐理的谐音时发现产生各种谐音的弦的长度都是成整数比，因此论为音乐是对立因素的和谐统一。毕氏学派还发现很多自然现象包括星球运动过程中某些数量关系也满足整数比，提出“美是和谐与比例”。阿拉伯数字为什么能成为国际通用的数字，原因是它的表达形式比较简单，它的逻辑结构简洁。正如拉普拉斯（Laplace 1749～1827）所说“用不多的记号来表示全部的数的思想，赋予它的除了形式上的意义外，还有位置上的意义，它如此绝妙，如此简单，如此的美”。 数学史的学习可以引导学生领悟数学美，让学生在感叹和欣赏几何图形的对称美、尺规作图的简单美、体积三角公式的统一美、非欧几何的奇异美等时，可以形成对数学良好的情感体验，数学素养和审美素质也都能得到提高。
第二，学习数学史可以使人变的坚强，能让学生学到数学家的优秀品质。任何一门科学的前进和发展的道路都不是平坦的，无理数的发现，非欧几何的创立，微积分的发现等等这些例子都说明了这一点。数学家们或是坚持真理、不畏权威，或是坚持不懈、努力追求，很多人甚至付出生命的代价。阿基米德(Archimedes公元前约287～212)在敌人破城而入危及生命的关头仍沉浸在数学研究之中，为的是“我不能留给后人一条没有证完的定理”。欧拉(Euler 1707～1783)31岁右眼失明，晚年视力极差最终双目失明，但他仍以坚强的毅力继续研究，它的论文多而且长，以致在他去世之后的10年内，他的论文仍在科学院的院刊上持续发表。对那些在平时学习中遇到稍微繁琐的计算和稍微复杂的证明就打退堂鼓的学生来说，介绍这样一些大数学家是如何遭遇挫折又是如何执著追求的故事，对于他们正确看待学习过程中遇到的困难、树立学习数学的信心会产生重要的作用。
第三，学习数学史使人了解到数学的发展是曲折的。在数学史的危机，无理数的发现，悖论的出现，无穷级数的产生等。一度使人茫然，使数学家陷入困境。但是就是这些问题，对以后几千年的数学的发展产生了深远的影响，促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，有力的推动了公理几何学与逻辑学的发展并且孕育了微积分的思想萌芽。数学的发展与其他事物的发展一样，不可能直线上升，也是螺旋式上升的，虽然有曲折，但是真理毕竟是淹没不了的。
第四，学习数学史可以对学生进行爱国主义教育。中国数学有着光辉的传统，有刘徽、祖冲之、祖暅、杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰等一批优秀的数学家。有中国剩余定理、祖暅公理、“割圆术”等具有世界影响的数学成就，对很多问题的研究也比国外早很多年。有象《九章算术》这样的世界科学名著，《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则，现在它已被译成日、俄、德、英、法等多种文字。还有，据《周髀算经》中记载，在公元前1100多年我国数学家商高与周公谈话中就明确提出了“勾广三，股修四，弦隅五”， 且在同一书中记载的，“勾股各自乘，并而开方除之”，已经给出了普遍的勾股定理；祖冲之与他的儿子一起求得了球的体积公式V= D /6，其中用到了“祖暅原理”，比意大利数学家卡瓦利里（B.Cavalieri 1598～1647）早了一千多年。这些都是我们中华民族的骄傲。
七、结束语
总之，数学史对于数学教学来说是一种十分有效的、不可缺少的工具。作为数学知识的传播者，我们不仅要教会学生解题，教会学生应用，还需要古为今用、取精用弘。以史为鉴，教师不仅能创设问题情景、活跃课堂气氛、丰富教学内容，而且能让学生了解数学的发展历程，探索先人的数学思想，有助于掌握数学发展的规律。学生从中得其道，教师从中撷其法，古为今用，受益非浅。
