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1 函数产生的社会背景 函数 (function) 这一名称出自清朝数学家李善兰的着作《代数学》， 书中所写“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.而在 16、17 世纪的欧洲， 漫长的中世纪已经结束，文艺复兴给人们的思想带来了觉醒，新兴的资本主义工 业的繁荣和日益普遍的工业生产，促使技术科学和数学急速发展，这一时期的许 多重大事件向数学提出了新的课题;哥白尼提出地动说，促使人们思考：行星运 动的轨迹是什么、原理是什么。牛顿通过落下的苹果发现万有引力，又自然使人 想到在地球表面抛射物体的轨迹遵循什么原理等等。函数就是在这样的一个思维 爆炸的时代下渐渐被数学家们所认知和提出。

早在函数概念尚未明确之前，数学家已经接触过不少函数，并对他们 进行了分析研究。如牛顿在 1669 年的《分析书》中给出了正弦和余弦函数的无 穷级数表示;纳皮尔在 1619 年阐明的对数原理为后世对数函数的发展提供有力 依据。1637年法国数学家笛卡尔创立直角坐标系，使得解析几何得以创力，为函 数的提出和表述提供了更加直观的方式;直角坐标系可以很形象的表述两个变量 之间 的变化关系，但他还未意识到需要提炼一般的函数概念来阐述变量的关系。

17 世纪牛顿莱布尼兹提出微积分的概念，使得函数一般理论日趋完善，函数的 一般概念表述呼之欲出。在 1673 年莱布尼兹首次使用函数一词来表示“幂”,而 牛顿在微积分的研究中也使用了“流量”一词来表示变量之间的关系。函数就是在 数学家们不同分支但相同意义的研究下顺应而生。

2 函数概念的提出和初步发展1718 年，瑞士的数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli)把函数定义为 “一个变量的函数是指由这个变量和常量以任何一种方式组成的一种量”.伯努利 把变量 x 和常量按任何公式构成的量叫做 x 的函数，表示为 yx.值得一提的是 伯努利家族是一个科学世家，3 代人中产生了 8 位科学家，后裔中有不少人被 人们追溯过，这是非常罕见的。约翰·伯努利的函数定义在为后世的函数发展提 供了便利。

1755 年，瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler)把函数定义为“如果某些变 量，以某一些方式依赖于另一些变量;即当后面这些变量变化时，前面这些变量 也随之变化，就把前面的这些变量称为后面这些变量的函数”.欧拉的定义与现代 函数的定义很接近。在函数的表达上，欧拉不拘于用数学式子来表示函数，破除 了伯努利必须用公式表达函数的局限性，他认为函数不一定要用公式来表示，他 曾把画在坐标系上的曲线也叫做函数，他认为函数是“函数是随意画出的一条曲 线” 3 十九世纪的函数-对应关系 19 世纪是数学史上创造精神和严格精神高度发扬的时代，几何，代 数，分析等各种分支犹如雨后春笋般竟相发展;函数进入 19 世纪后，概念理论 得到了极大的拓展和完善。

1822 年傅立叶发现某些函数可以表示成三角级数，进而提出任何函 数都可以展开为三角级数;提出着名的傅立叶级数。使得函数的概念得以改进， 把世人对函数的认识推到了一个新的层次。

1823 年，法国数学家柯西从定义变量开始给出了函数的定义，指出 无穷级数虽然是定义函数的一种有效方法，但定义函数不是一定要有解析表达式， 他提出了“自变量”的概念;他给出的定义是“在某些变数间存在一定的关系，当一 经给定其中某一变量的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自 变量，其他各变数叫做函数。”这一定义与现在中学课本中的函数定义基本相同。

1837 年，德国数学家狄利克雷指出：对于在某区间上的每一个确定 的值，都有一个或多个确定的值，那么 y 就叫做 x的函数。狄利克雷的函数定 义避免了以往以往函数定义中依赖关系来定义的弊端，简明精确，为大多数数学 家所接受。4 现代函数-集合论的函数 自从德国数学家康托尔提出的集合论被世人广泛接受后，用集合的对 应关系来表示函数概念渐渐占据了数学家们的思维。通过集合的概念把函数的对 应关系、定义域以及值域进一步具体化。1914 年豪斯道夫在《集合论纲要》中 用“序偶”来定义函数;库拉托夫斯基在 1921 年又用集合论定义了“序偶”.这样就 使得豪斯道夫的定义更加严谨。

1930 年，新的现代函数定义为：若对集合 M 的任意元素X 总有集 合 N 确定的元素 Y 与之对应，则称在集合 M 上定义一个函数，记为 Y=f(x)。

元素 x 称为自变量，元素 Y 称为因变量。

5 函数发展对当代社会的意义 函数的发展，对当代社会的生产生活产生了重大的影响;函数概念也 随着时代的不断进步而分成了网状的分支，从简单的一次函数到后来复杂的五次 函数方程的求解;从简单的反函数，三角函数到后来的复变函数，实变函数。这 些函数的常用性质，以及函数的求解都随着人们对函数概念理论的不断深入而发 现，进而无数人对其更加深入了研究探讨，函数思想理论也深入渗透到社会各个 领域。从教师教学中的函数思想到解决实际问题的数学建模;从计算机编程领域 的 C 函数到调控市场经济的概率理论研究，函数无时无刻不在发挥其强大的作 用。了解函数概念发展的过程，就是不断挖掘理解函数内涵的过程，可以使人们 对这个客观的世界更加深入的了解，有助于人们丰富视野，并不断的加以发展， 适应不断变化的社会需要。

参 考 文 献 [1]陈路飞。函数发展史[J].数学爱好者，2006(，2)。

[2]庞懿智。函数的发展史对函数的教学的启示[J].未来英才，2014,(7)。

[3][美]Victor J.Katz. 数学史通论第二版[M].高等教育出版社， 2004.02. [4]彭林，童纪元。借助函数概念的发展史引入函数概念[J].中学数学， 2011,(11)。

有关数学史方面的论文参考范文篇2浅析数学史的教育价值与具体应用 随着数学、 科学技术和社会的发展， 人们对数学有了越来越深刻的 认识， 对数学和数学教育、 数学史与数学教育的关系有了越来越深刻的认识， 对数学教育取向的数学史研究及其教育价值的发挥也越来越重视。

本文就数学 教育取向的数学史的学科性质， 它与数学教育的密切联系，怎样通过数学史学 习加强数学教育、 发挥数学史的教育价值， 以及融数学史与数学教学中存在的 困难和问题做初步探讨。

1 数学史的学科性质 数学史是研究数学发展历史的学科， 是数学的一个分支， 也是科学 史下属的一个重要分支。数学史与数学研究的各个分支、 社会史、 文化史的各 个方面都有着密切的联系。数学史研究数学原理、 概念、 思想和方法等的起源 与发展， 及其与社会、 政治、 经济和一般文化、 教育的联系， 它不仅追溯 数学原理、 概念、 思想和方法的演变、发展过程， 而且还探索影响这种过程 的各种因素， 以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。

数学史的 研究对象不仅包括具体的数学内容及其发展的历史分期， 而且涉及历史学、哲 学、 文化学、 教育学、 宗教学等社会科学与人文科学内容。

因此， 数学史 是一门综合性、 交叉性学科。

本文所指的数学史， 不是那种为历史而研究历史的纯数学史， 而是 为教育而研究历史的数学史， 也就是数学教育取向的数学史， 其关注点侧重于 以对数学发展作出贡献的着名历史人物的可歌可泣的、 丰满鲜活的数学创造事 迹为载体， 追溯数学原理、 概念、 思想和方法的演变、 发展过程， 探索影 响这种过程的各种因素， 以及历史上数学发展对人类文明所带来的影响。

2 数学史的教育价值 数学是历史最悠久的人类知识领域之一。

从远古屈指计数到现代高 速电子计算机的发明， 从量地测天到抽象严密的公理化体系， 在五千余年的数 学历史长河中， 重大数学思想的诞生与发展确实构成了科学史上最富有理性魅 力的题材。

与自然科学相比， 数学更是积累性科学， 其概念和方法更具有延 续性。

数学已经广泛地影响着人类的生活和思想， 是形成现代文化的主要方面。

因而， 数学史是从一个侧面反映的人类文化史， 又是人类文明史的最重要的组成部分。

许多历史学家也通过数学这面镜子， 了解古代其他主要文化的特征与 价值取向。

数学科学作为一种文化， 不仅是整个人类文化的重要组成部分， 而 且始终是推进人类文明的重要力量。

对于每一个希望了解整个人类文明史的人 来说， 数学史是必读的篇章。

可以说不了解数学史就不可能全面了解整个数学 科学。

数学史在整个人类文明史上的这种特殊地位， 是由数学作为一种文化的 特点决定的。

数学史无论对于深刻认识作为科学的数学本身， 还是全面了解整 个人类文明的发展都具有重要意义。

数学史在数学教育中的重要作用早在 19 世纪就已经被一些西方数 学家所认识。

法国着名数学家亨利·庞加莱 (J. H. Poincare,1854~1912)指出：
“如 果我们想要预见数学的未来， 适当的途径是研究这门科学的历史和现状。”[1] 数学史家卡约里(Cajori,1859~1930)说：
“数学史的重要性表现在数学为人类文明 所作出的贡献。

人类进步与科学思想的发展密切相关， 数学与物理的研究乃是智力 进步的可靠记录。”[1] 19 世纪末以后， 欧美众多着名数学家、 数学史家和数学教育家都 提倡在数学教学中直接或间接地利用数学史， 数学史的教育价值受到数学家们 的大力提倡。[2] 在 1904 年德国海德堡召开的第三届国际数学家大会上， 美国着名 数学史家、 数学教育家史密斯(D. E. Smite,1860~1944)与其他国家的几个数学家、 数学史家和数学教育家在提出的一项决议中指出：
“数学史在今天已成为一门具 有无可否认的重要性的学科， 无论从数学的角度还是从教学的角度来看， 其作 用变得更为明显， 因此， 在公众教育中给与其恰当的位置乃是不可或缺的事。” 该项决议希望在大学里开设精密科学史课，包括数学与天文学史、 物理与化学 史、 自然科学史、 医学史四部分。

该项决议还建议在中学课程中介绍精密科 学的历史。[3] 到了 20 世纪 70 年代， 数学史对数学教育的重要意义已成为西方 数学教育家们的共识， 数学史与数学教育之间关系的理论研究也引起广泛关注 并提到了国际数学教育的议程中。

1972 年， 在第二届国际数学教育大会上， 成 立了数学史与数学教学关系国际研究小组 (简称HPM,1976 年开始隶属于国际数学教育委员会)， 这标志着数学史与数学教育关系作为一个学术研究领域的出 现。[3] 在我国， 数学史的教育价值也早已被一些学者所认识。

近年来， 论 述数学史教育价值的文章不断增多， 在数学教学中融入数学史的呼声越来越强 烈， 特别是《普通高中数学课程标准(实验)》的颁行把数学史融入数学教学的 行动从幕后推到了前台。

2005 年 5 月在西安召开了我国第一届数学史与数学 教育会议， 这表明， 数学史与数学教育这一领域已经得到我国数学史与数学教 育界的普遍关注。

总之， 数学教育取向的数学史的教育价值早已被人们所认识， 关于 数学史与数学教育的关系的研究正在不断深入， 融数学史于数学教学已经从理 念逐步变为行动， 也成为通过数学教育对学生进行德、 智、 美育的切入点。

通 过数学教育取向的数学史的学习， 进一步认识数学史与数学教育的内在密切联 系， 在数学教育教学过程中发挥数学史的教育价值， 优化学习者的知识结构， 提高人才培养质量。

概括而言， 数学教育取向的数学史的教育价值主要在于以下几个方 面：
2.1 给数学教学积累丰富的教育性资料 数学具有严谨的逻辑性、 高度的抽象性、 应用的广泛性、 深刻的 文化性、 知识的延续性、 独特的优美性等特点。

作为数学教师， 只有通过数 学史积累丰富的教育性资料， 才能获取相关知识点(如，数学概念、公式、定理 和方法等)的教学启示， 为丰富和活跃数学教育教学活动打好基础。

数学史对于数学教师而言不仅是教学中必需的知识， 而且也是形成 数学思想和方法以及培养专业精神和科学探索精神的源泉。

荷兰着名数学史家迪克斯特休 (E. Jan Dijk-sterhuis,1892~1965) 强调 数学史在师范教育中的重要作用时指出：
“中学数学教师的主要任务是向下一代 传授数学知识， 并且， 如果可能的话， 激起他们对于人类千百年以来在该领 域中所取得成就的热爱与崇敬。

对于这些师范生来说， 关于这门学科历史演进 的知识乃是一种财富， 这种财富不仅是宝贵的， 而且是不可或缺的， 它---自 然还需要掌握现代数学知识---将使他们能够令人满意地完成自己的职责。

他们经常需要去关心过去数学发展的各个阶段， 他们必须把这些阶段讲得清晰一些， 对孩子有吸引力一些。

孩子们必须通过这种方式得到思维的训练。”[3] 2.2 为数学课程和教学设计提供丰富的史料 近几年来， 在国内外数学教育改革中， 强调数学的文化价值， 使 数学史知识得到广泛的关注。

数学史已成为数学课程和数学教学设计的丰富史料， 已成为数学教 学内容的有机组成部分。

《义务教育数学课程标准 (2011 年版)》 指出“数学文化作为教材的 组成部分 , 应该渗透在整套教材中。

为此， 教材可以适时地介绍有关背景知 识， 包括数学在自然与社会中的应用， 以及数学发展史的有关资料， 帮助学 生了解在人类文明发展中数学的作用， 激发学习数学的兴趣， 感受数学家治学 的严谨， 欣赏数学的优美。” 《普通高中数学课程标准(实验)》把 “数学史选讲” 作为选修课加以开设， 并在理念部分指出：
“数学是人类文化的重要组成部分。

数学课程应适当反映数学的历史、 应用和发展趋势， 数学对推动社会发展的作 用， 数学的社会需求， 社会发展对数学发展的推动作用， 数学科学的思想体 系， 数学的美学价值， 数学家的创新精神。

数学课程应帮助学生了解数学在 人类文明发展中的作用， 逐步形成正确的数学观。” 在选修课系列 3-1 “数学史 选讲” 中列出了可供选择的 11 个专题， 并提出了具体要求：
“通过生动、 丰 富的事例， 了解数学发展过程中若干重要事件、 重要人物与重要成果， 初步 了解数学产生与发展的过程， 体会数学对人类文明发展的作用， 提高学习数学 的兴趣，加深对数学的理解， 感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精 神。”“完成一个学习总结报告。

对数学发展的历史轨迹、 自己感兴趣的历史事 件与人物， 写出自己的研究报告。”“本专题由若干个选题组成， 内容应反映数 学发展的不同时代的特点， 要讲史实， 更重要的是通过史实介绍数学的思想方 法， 选题的个数以不少于 6 个为宜。” 这将会大力推动数学史和数学教学的融 合， 进一步发挥数学史的教育价值。[4][5] 2.3 深化对数学原理、 概念、 思想和方法的理解 数学有产生发展的特定历史过程。

只有懂得数学发展史， 才能深刻 理解数学。

在数学教学中融入数学史内容， 让数学教学鲜活起来， 有助于学 生对数学概念、 方法和原理的理解与认识的深化， 帮助学生理解数学及其价值，形成正确的数学观。

数学家研究数学的时候带着激情在思考，一旦研究有了确 切结果， 呈现在我们面前的则是冰冷的美丽学术形式。

因此， 我们要通过数 学史的学习， 了解当时的数学家为什么和如何研究数学。

一个数学原理、 一 个具体的数学概念， 一个有效的数学思想方法究竟是怎样产生的 一个数学符号 是怎样演变形成的 为什么古希腊人要用公理化方法展开数学， 从而形成演绎几 何体系 他们所处的时代背景如何 中国古代数学的特点和古希腊数学的特征 有何不同 等等。

弄清这些问题， 对学生理解数学很有好处。

在这方面， 值 得研读的数学名着之一是美国着名数学史家 M·克莱因(Kline Morris,1908~1992)1972 年出版的着作《古今数学思想》(1979 年有中译本)等。

丹麦数学家、 数学史家邹腾 (H. G. Zeuthen,1839~1920) 早在 1876 年的一篇数学史论文中就强调数学专业的学生学习数学史的必要性， 他指出：
“学生不仅获得了一种历史感， 而且， 通过从新的角度看数学学科， 他们将对 数学产生更加敏锐的理解力和鉴赏力。”[3]对于一个数学教师而言， 如果没有数 学史方面的知识积累和修养， 很难把数学课上好。

2.4 激发学习兴趣和爱国热情 融数学史于数学教学， 使学生了解数学与人类文明发展的密切关系， 可以激发学生的学习兴趣， 活跃课堂气氛， 提高教学效果。

数学史可以使学 生了解数学的发展， 了解中国古代数学的辉煌成就， 了解中国近代数学落后的 原因和中国现代数学研究发展的现状， 充分介绍中国现代数学家的贡献， 以激 发学生的爱国热情， 培养胸怀宽广的奉献精神， 振兴民族科学。华罗庚 (1910~1985)、 陈景润 (1933 ~1996)、 陈省身 (1911~2004)等着名数学家的光辉 事迹， 中学物理教师陆家羲(1935~1983) 在数学研究上取得的成就和献身精神 等等， 不仅是进行数学专业教育的典型材料，而且是进行思想教育、 启发人格 成长的良好材料。实现数学教育的德育功能， 数学教育取向的数学史学习是不 可缺少的内容。数学是全人类的共同财富。

在科学发现上，各个国家和各个民 族应该彼此借鉴， 互相学习，共同提高。

要把外国的一切优秀文化， 包括数 学成就都充分尊重， 吸收过来。

“洋为中用”, 为祖国建设服务， 实际上就是 爱国主义教育。

人类的数学文明最早起源于巴比仑， 其次是埃及。

巴比仑的泥板、 埃及的纸草书上的数学记载都在公元前 1000 年以上。

即便是后来的古希腊的数学文明也远早于中国。

中国古代数学虽然出现得比地中海文明要迟许多， 但 是具有自己的特点， 同样为人类作出了重要贡献。

我国着名数学家吴文俊院士 曾经十分深刻地指出， 中国古代数学的优秀传统是“算法数学”.中国算学虽然缺 乏古希腊式的公理化演绎体系， 却十分准确地用算法的形式表达出来。20 世纪 70 年代， 吴文俊从研究中国古算受到启发， 并结合现代计算机技术进行思考， 发展出了世界领先的“数学定理机器证明”方法(世称“吴方法”)。

这样的古为今用， 才是真正的爱国主义， 才能真正激发起民族自豪感。

2.5 强化应用和创新意识 提高学生对数学的宏观认识， 数学教师的任务不仅要把书本上的内 容讲清楚， 还要对数学发展的来龙去脉有清楚的介绍。

一个优秀的教师，不仅 要授人以业， 还要授人以法， 进而授人以道。

教师要掌握这些“法”和“道”, 必须宏观地理清数学发展的脉络， 深入 理解数学的本质。

对于进行数学创新来说， 数学史研究更具有指引作用。

数 学史中记载了许多数学家发明发现的生动过程，向学生介绍这些过程， 有助于 学生理解掌握创造的方法、 技巧， 从而增强其创造力。

如公元 263年， 刘徽 对我国数学古籍《九章算术》的注释中提出了计算圆周长的 “割圆” 思想。

“割 之弥细， 所失弥少， 割之又割， 以至于不可割， 则与圆周合体， 而无所失 矣”, 这些对极限思想的朴素生动的描写， 对后人是一种创新激励。

大量的数 学史料， 对于培养学生坚韧不拔的探索精神， 形成良好的认知结构和知识结构 都具有重大意义。

2.6 提高人文修养 许多数学家都是文理兼修的饱学之士， 他们都具有辩证的认知结构 和文理贯通的知识结构。因而， 历史上数学家的业绩与品德也会在青少年的人 格培养上发挥十分重要的作用。

在高等学校里， 通过数学史学习， 可以使数 学系的学生在接受数学专业训练的同时， 获得人文科学方面的修养， 文科或其 它专业的学生通过数学史的学习可以了解数学概貌， 获得数理方面的修养。

通 过数学史学习可以对学生进行人文教育， 进行美育熏陶。

在中小学数学教育中 恰当地融入数学教育取向的数学史， 对学生进行人文教育和美育熏陶，是数学 课程改革中值得重视的一个重要课题。

3 在数学教学中融入数学史应注意的问题如何在基础教育数学教学中渗透数学教育取向的数学史， 是一个国 际数学教育界共同关心的问题。

1998 年， 国际数学教育委员会在法国马赛组 织了一次 “数学史与数学教育” 的专题研讨会。

这次会议的主题是数学文化， 要求数学教学充分反映数学的文化底 蕴， 从课程内容， 概念形成，证明方法， 习题配置等各个方面， 全方位地使 数学史融入、 丰富和促进数学教学。

数学文化观念下的数学史教学， 要把握各民族文化发展的历史进程， 看到世界各国的科学技术是如何各自发展， 又如何彼此融合， 互相促进。

数学是人类追求真理的文化结晶。

我们要从数学史中汲取对我们今 天有用的文化内涵。

3.1 融数学史于数学教学应重视科学性 、 实用性、 趣味性和广泛 性 (1) 科学性是指教师向学生传授的数学史知识必须是正确的。

应该 尊重历史， 尊重事实， 既不可随意编造， 也不能无端拔高， 更不可进行艺术 加工， 不可把数学史当作故事， 随意虚构。

(2) 实用性是指所讲的数学史对学生的数学学习及将来工作有直接 帮助作用。

例如， 初等数学中的数的起源与记法、 发现无理数的过程、 圆周 率、 勾股定理、 笛卡尔对直角坐标系的贡献等等;
高等数学中的微积分的概念、 函数的概念、非欧几何的创立， 不仅史料丰富， 而且内容精彩， 非常适合于 课堂教学， 对学生理解所学的知识有很大的帮助。

但受课时的限制， 所选内 容要精当， 要有所侧重。

(3) 趣味性是指课堂教学要有趣味， 学习内容可以激发学生的学习 兴趣。

数学史上惊心动魄、引人人胜的例子不胜枚举， 教师应恰当选材， 使 课堂教学娓娓动听。

讲授时要合理地运用语言，全身心地投入表达， 语调与情 节配合， 知识性与趣味性共生， 应避免照本宣科或哗众取宠， 要寓教于乐， 注 重实际效果。

(4) 广泛性是指选取的数学史知识要涉及面广。

数学是几千年来全 人类孜孜以求、 不断探索、历尽千辛万苦共同取得的理性财富。

在整个数学科学发展长河中， 数学是在人类社会变革推动之下， 各国数学家相互交流学习， 共同探索的结果。因此， 在进行数学教育取向的数学史教学时注意选择不同时 期、 不同国度的史料。

这样才能全面地、 真正地、 准确地展示数学史的全貌。

3.2 融数学史于数学教育关键在教师 (1) 教师应有广博的数学史知识以及政治 、经济、 哲学、 文化、 历 史、 地理等多方面的知识， 教师应加强数学史知识的学习和多学科知识的充实， 丰富自己的阅历。

这样讲课才能得心应手， 将课讲活讲透。

不能将数学史知 识生搬硬套地应用到数学教育中。

(2) 数学史知识是穿插在授课内容中的， 不能喧宾夺主， 应以完成 授课计划为主。

在授课过程中自然引出， 不应过分渲染， 忽视了正常的教学 内容。

正确把握好数学史和课堂教学内容的主次。