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一、小学数学教学中的逻辑问题案例
1原命题与逆命题
判断：表面积相等的两个长方体，体积也相等。
有老师的观点：
用六个单位正方体拼成两种不同的长方体，它们的体积一样，但表面积不一样。这样应该就可以推出“表面积一样的长方体，体积也不一定一样”。
笔者提出以上解释，请另外一位老师评价，以下是一位老师(简称D)和笔者的交流。
笔者：有一种说法是用六个单位正方体拼成两个不同的长方体，这时表面积不同，从而说明原判断题应为错。你如何看这个方法?
D：我不认同，不好。
笔者：是“不好”还是“不对”?
D：不对!
笔者：请具体说说。
D：判断题我不认为应当从后往前推。
笔者：这似乎没讲到点子上。
D：就如1不等于2，与2不等于1，就不是一回事。
笔者：现在的问题是：人家通过验证“体积相等的两个长方体，表面积可以不相等”来证明“表面积相等的长方体，体积也不一定相等”，犯了什么样的逻辑错误?
D：……
用六个单位正方体拼成两个不同的长方体，表面积不相同，但体积相同。这只是否定了上述命题的逆命题，并不能因此否定原命题。即此例并没有否定“若两个长方体表面积相等，则这两个长方体的体积相等”。
2充分条件与必要条件
一位老师在教学“圆锥的体积”时，作如下总结：
师：是不是任意圆锥的体积都是圆柱体积的1/3?
生：不是!
师：那必须是?
生：等底等高。
师：对!只有等底等高的圆锥和圆柱的体积才有“1/3”的关系，若不是等底等高，就没有“1/3”的关系。
“等底等高”是“圆锥体积是圆柱体积的“1/3”的充分条件，即“有之必然”，但并非必要条件，即并非“无之必不然”，因此不能说“若不是等底等高，就没有‘1/3’的关系”。
3性质与判定
在六年级数学总复习的一节课中，复习内容为平面图形。在练习时，教师出示了两道判断题：
(1)四条边相等的四边形是正方形。()
(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。()
下面是教师处理这两道题的教学实录。
师：先看第一题，对吗?
生：不对!
师：为什么?
生：我知道菱形也是四边相等，但不是正方形。
师：说得好!第二题呢?
生：不对!
师：不对吗?
生：不对!
师：为什么呢?
生：……
师(指着黑板上画着的一个平行四边形的一组对边)：大家看，这组对边平行吗?
生：平行。
师(指着该平行四边形的另一组对边)：这组对边呢?
生：也平行。
师：那这道题对吗?
生：……
师：对吗?
生：对。
课后，笔者与授课教师交流，说到这两题时，笔者对授课教师说，这两道题是关于正方形、平行四边形的判定，第一道题中提出的“四条边相等的四边形是正方形”是错误的判定方法。正因为是错误的，学生可以通过举反例的方法来作出判断，第二题中提出的“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，这是一个正确的判定平行四边形的办法，可学生根本无法对其正确性作出判断。授课教师说“我认为我那个说明理由的办法是可以的啊”，笔者指出那是用性质定理来代替判定定理，是站不住脚的，授课教师不以为然。笔者接着说：“按你的逻辑和处理方法，我完全可以把第一题也说成是对的——画一个正方形，问学生，这两条边相等吗?那两条边呢?四条边都相等吗?无疑，学生都会认为是对的，在得到正确回答后再追问学生第一题对吗?这样就可以得到第一题也是对的，这个结论当然是荒谬的。”授课教师似乎有点委屈……
二、小学数学教师应该学点逻辑学
什么是逻辑学?我们这里讲的逻辑学，主要是指形式逻辑。之所以主要讨论形式逻辑，是因为小学数学教师接触的数学基本属于初等数学，按照恩格斯的说法：初等数学，即常数的数学，是在形式逻辑的范围内活动的，至少总的来说是这样；而变数的数学——其中最重要的部分是微积分——本质上不外乎是辩证法在数学方面的运用(《马克思恩格斯选集》第3卷，第174、175页)。
“逻辑”一词，我们在生活中常见、常用，但往往在不同的语境下有着不同的意义。大体有如下几种：
1某种具体的理论、观点、认识等。比如“要按他的逻辑，你根本没必要去”。这里的逻辑就是“他”所持的某一理论、观点等。这句话完全可以改为“要按他的观点(或理论)，你根本没必要去”。
2客观事物发展的规律。比如“根据历史发展的逻辑，人类社会总体上是不断向前的”。
3思维的规律。比如“你的这些观点不合逻辑”。
4逻辑学。比如“数学老师要学点逻辑”。
就其本意而言，逻辑即是指规律。汉语“逻辑”一词系英文“logic”的音译。而logic又源于希腊文logos(逻各斯)，logos的一个重要的意义就是事物的普遍规律。事实上，上述四种关于“逻辑”的用法，除了最后一种是指一门学问外，其他都有“规律”的意义。规律就是指某种必然性。以上述第2条为例：是人类社会，就必然总体上向前发展。
人类如何获得对事物的规律的认识呢?要靠思维。思维是认识的高级阶段，是借助于语言、表象或动作实现的对客观事物的间接的和概括的认识。思维有内容和形式两个方面的属性。思维的具体内容往往是某些具体科学研究的对象。比如：
1如果一个数能被4整除，那么这个数能被2整除；
2如果给一个物体施加一个力的作用，那么这个物体的运动状态将发生改变。
上述1中的具体内容是数学研究的对象，而2中的内容为物理学研究的对象。但我们不难发现，上述1和2有一个共同的形式结构：如果……那么……。这种思维的形式结构及其规律，就是逻辑学研究的内容。逻辑学是一门研究思维的形式结构及其规律的科学。
形式逻辑主要包括逻辑思维的基本规律与逻辑思维的基本形式两大部分内容。逻辑规律是指我们熟悉的同一律、排中律、矛盾律和充足理由律。逻辑思维的基本形式主要包括概念、判断、推理和论证。
小学数学教师为什么要学点逻辑学?
尽管不懂逻辑学，也可以有合乎逻辑的思维方式，继而作出合乎逻辑的论断。就像没有学过语法的人也可以实际应用语言一样。但逻辑用语是科学语言的内核，正确使用逻辑用语，是当代公民的基本素养。小学数学教师当然也不例外，应该具备这方面的素养。同时，由于小学数学教师工作的特殊性，某种程度上更应该学习基本的逻辑知识。不然，前面案例中的错误就会屡见不鲜。
首先，数学教学工作要求我们学点逻辑学。数学教学是数学思维活动的教学。数学思维活动则是以客观世界的数量关系和空间形式为思维对象，以数学语言和符号为思维载体，以发现、认识数学规律为目的的一种思维活动。作为数学教师，我们不可能不
