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中国历史上的数列
中国历史上的数列 中国历史上的数列 乐东中学 吴清忠 《数列》是人教版普通高中课程标准实验教材·数学（A版）必修5第二章， 通过对一般数列的研究，转入对两类特殊数列--等差数列、等比数列的通项公式 及前几项和公式的研究。本章头图的知识背景为向日葵花盘上种子的数目排列分 别是：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，......。其中，每一个数都是前两个 数字之和，这就是斐波那契数列。斐波那契（Leomardo.Fibonacci）是意大利数 学家，本章还通过1+2+3+...+100的高斯算法推广到一般等差数列的前几项和的算 法，还有复习参考题中有《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）的题目，这些都是 关于国外古代对数列的研究，不过，等比数列的定义通过列入我国古代关于"一 尺之棰，日取其半，万世不竭"问题来研究。其实我国历史上对数列问题早有研 究，也做出一定的贡献，为了学好《数列》这章书，帮助学生了解中国历史的数 列问题，每讲到《数列》这章书，我都分类来介绍中国历史上的数列问题。一、中国历史上的等差数列与等比数列 在数学史上，中国古代数学名著《周髀算经》、《九章算术》、《孔子算 经》、《张邱建算经》等，对等差级数（数列）a+（a+d）+（a+2d）+(a+3d)+...+[a+(n －1)d和等比级数（数列）a+aq+aq2+ aq3+...+ aqN－1都列举出计算的列子，说明 中国古代对数列的研究曾作出一定的贡献。
古老的《易经》一书中写道："是故《易》有太极，是生两仪；
两仪生四 象，四象生八卦"这种分割本身已经寓有数列中的等比思想。
故各节的容量是95/66，88/66，81/66，74/66，67/66，60/66，53/66，46/66， 39/66（单位为升）。同时，还记有这样一个问题："今有女子善织，日自倍，五 日织五尺问日织几何？"这是一个等比数列问题，即已知公比为2，项数为5，前5 项和为5，求a1，易解a1=5×(1－2)/(1－32)=5/31。
在南北朝时，在466～484年，张邱建写了一部算径，即《张邱建算经》， 在这本算经中，张邱建对等差数列的研究有一定的贡献，例如算经中有一道题" 今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何， 及未到三人复应得金几何"。
按照题意，解法应分三步，第一步求公差d 算经中的解法：
"以先入人数分所持金数为上率，以后入人数分别持金数为下率，二率相 减，余为差实，并先后人数而半之，以减凡人数，余为差法，实如法而一，得差 数"。
用现代符号，记后入人数为n1，后得金数为s1先入人数为n3先得金数为sm， 则算经中的解法为d=[（sm/ n3）－（s1/ n1）]/[n－（n3+ n1）/2]=（n1 sm－n3 s1） /｛［n－(n3+ n1)/2］n1 n3｝,若记未列人数为n2，则d=( n1 sm－n3 s1)/ ［n2+(n1+n3)/2］n1 n3。
本题：解得d=7/78，现用现代计算公差d 由：
a8+a9+a10=4 即：3a1+24d =4 解得d=7/78 a1+a2+a3+a4=3 4a1+6d =3 所以算经中的解法是正确的。
第二步，把后入四人每人所得金数视为一等差数列，求每人的金数，这相 当于已知d，sn，n，求a1，即a1=｛sn －[n(n－1)/2]d｝/n。
第三步，把十人各得金数视为一等差数列，求每人的金数，相当于已知a1， d，n，求an，即an= a1+（n－1）d，以上都是我国古代数学家张邱建提出的问题 及解法。这就说明中国古代南北朝时，已具备了系统的等差数列的理论。
二、中国历史上的数列求和 我国古代数学家也早就研究过等比数列的求和问题，《孙子算经》中有一 道题为："出门望九堤"："今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢， 巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各共几何？"这是等比数列通项 和求和问题也就相当于a1=9，公比q=9，项数为8的等比数列问题。
在《张邱建算经》有一道题："今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺，未一日织一尺，计织三十日，问共织几何？"书中的解法是：
"并初、未日织布数半之，余以乘织讫日数，即得"这个解法相当于等差数列的求 和公式sn=（a1+an）/2。
再如："今有女子善织布，逐日所织的布以同数递增，初日织五尺，计织 三十日，共织九匹三丈，问日增几何？"书中给出了计算公差d=[（2sn/n）－2a1]/ （n－1），这个公式是现令中学课本《数列》中的等差数列的前几项和公式 sn=na1+[n(n－1)/2]d 通过以上中国历史上的数列问题，在数学领域里，也在《数列》这一块领 域里我国古代的数学家也作出过举世公认的贡献，使学生体会到，中华民族是伟 大的民族，曾经为人类作出伟大的贡献，因而产生民族自豪感，立志发扬光大我 们祖先的光辉业绩，奋发图强，为中华民族的伟大复兴而努力学习！
