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目前对于广域网络流量的研究已经发现网络流量序列中存在复杂的奇异特性，而对于局域网络的研究还处于起步阶段。基于此，本文以局域网流量序列为研究对象，着重分析其在复杂的分形结构中不同层次的特征。首先分析局域网流量序列的多重分形谱的特性，进而分析多重分形谱参数与流量变化的关联关系，分析结果为采用多重分形谱进行网络流量预测奠定了理论基础。
1多重分形及其谱参数的物理意义
简单地说，多重分形即为分形对象的分解，分解后每部分均有自己的分形维数。假定一单位区间具有单位质量，将其分成若干子区间，每个区间长度为δ；同时为第k个子区间分配一个非负的质量μk，序列{μk,k≥1}表示一随机过程，定义μk在时间点t0 处的奇异性指数α(t0)为
α(t0)=limδ→0(ln(μk)/ln δ)
(1)
其中：μk表示包含时间点t0子区间的质量。奇异性指数α(t)也称做Hǒlder指数，在分形理论中表征分形体某小区域的分维，又称为局部分维，其值的大小反映了小区域生长几率的大小。
如果式（1）中的极限不存在，则表示在t0处的奇异性指数没有定义；如果α(t)为一常数，则说明该序列的奇异性可以仅用一个全局尺度指数来表征，这种分形特征就是单重分形特征；如果α(t)随时间t的变化而变化，即其尺度行为特征与时间有关，则该序列具有多重分形特性。与单重分形相比，多重分形概念推广拓展了人们对尺度行为的理解和认识，与时间相关的尺度特性能够反映出局部时间范围内的不规则现象[8]。
多重分形用于表示分形体中小区域的分维，如果小区域的数目很大，α(t)将单重分形的分形指数(Hurst参数)扩充到多值，这就需要知道α(t)取不同值的概率才能分析网络流量的特征。于是，得到一个由不同α(t)组成的无穷序列构成的谱f(α)，其物理意义则是表示相同α值的子集的分形维数，即表示α(t)出现的概率，称为多重分形频谱，简称多重分形谱。f(α)取值应在[0，1]之间，通常是上凸形状(∩)，可以将多重分形谱理解为指数α(t)的概率分布(密度)[9]。
多重分形谱f(α)可以反映网络流量在分形结构上不均匀分布的性质，从而给出比简单分维更加丰富的结构信息。如果一个序列的多重分形谱的α(t)<1，则表示时间序列上某点周围的小区间内所有尺度上都有较高程度的突发；若α(t)>1，则说明业务量变化较平缓，突发不明显[8,10]。因此，可以通过判断α(t)的范围来判断网络流量的突发特性。多重分形谱的宽度Δα=αmax-αmin的大小反映了整个分形结构上概率分布的不均匀程度，从而可以全面地描述分形结构上不同区域、不同层次、不同局域条件的特性。此外，多重分形谱的参数αmax和f(αmax)反映的是概率最小子集的性质，而αmin和f(αmin)反映的是概率最大子集的性质。因此，多重分形谱f(α)是对序列分形结构上的复杂程度、不规则程度以及不均匀程度的一种度量。
2多重分形谱物理量之间的关系
定义一个配分函数χq(ε)，对概率P(ε)用q次方进行加权求和，其数学表达式为
χq(ε)=∑Pi(ε)q=ετ(q)(2)
其中：τ(q)称为质量函数（又称结构函数），如果上式右面的等式成立，即配分函数和ε有幂函数关系，则质量函数为
τ(q)=ln χq(ε)/ln ε(3)
根据多重分形的定义可由τ(q)得到多重分形的广义维数
Dq=τ(q)/（q-1）=ln χq(ε)/[(q-1)ln ε](4)
根据勒让德变换，α、 f(α)、τ(q)和Dq存在以下关系：
Dq=[qα-f(α)]/（q-1）(5)
f(α)=qα-τ(q)(6)
α=dτ(q)/dq (7)
由式(5)可知，如果已知α及f(α)则可求出Dq，而α可以通过式(7)τ(q)求导得出。由式(6)(7)可得到多重分形谱为
f(α)=q (dτ(q)/dq)-τ(q)(8)
进一步，根据式(4)(7)有
α=dτ(q)/dq=d[(q-1)Dq]/dq(9)
即如果已知Dq也可求出α。在以上各式中q称为权重因子，多重分形谱即是通过不同的q取值将分形体分成具有不同层次的区域来研究[9,11]。
3仿真分析
局域网流量序列来自于某集团公司内部网络中心的网络监测系统中心交换机的流量数据，测试时间为2005年3月16日~3月28日。此局域网是以太类型的由几百台主机组成的中型局域网，流量数据是由网络嗅探工具在等时间间隔内(1 s)记录网络数据包的个数和数据量，所得结果为一非负的时间序列，其传输的信息主要包括网页浏览、文件传输、网络业务系统等。
3．1多重分形谱及参数
图1为以2005年3月16日工作时段为分析对象的多重分形谱，其多重分形谱参数如表1所示。从仿真结果可以看出，图中多重分形谱的宽度和形状差别很大。其中：17:00~18:00的多重分形谱宽度Δα最窄而8:00~9:00的Δα最宽，表明后者的流量分布最不均衡；15:00~16:00的αmin和f(αmin)最小，说明在此时段出现最大值的概率最小，但最易发生流量突变；而10:00~11:00时段的αmin和f(αmin)最大，说明在此时段出现最大值的概率最大，但最不易发生流量突变；9:00~10：00的f(αmax) 最大，说明此时段出现最小值的概率最大；而11：00~12：00的f(αmax) 最小，说明此时段出现最小值的概率最小。进一步分析可以看出，Δf有正负，多重分形谱所表现出图形的形状不同，如10：00~11：00的多重分形谱左边呈现钩状，而9：00~10：00的多重分形谱右边呈现钩状。这反映了出现流量最大值与最小值概率之比，即当Δf>0时，流量出现最大值的概率大于出现最小值的概率；反之亦然。
表1工作时段流量序列的多重分形谱参数
时段αminf(αmin)αmaxf(αmax)ΔαΔf
8~90.473 10.057 62.713 70.042.240 60.017 6
9~100.374 30.038 11.922 30.521 11.548-0.483
10~110.620 10.473 92.618 30.041 51.998 20.432 4
11~120.412 10.065 92.434 802.022 70.065 9
14~150.615 30.237 11.783 50.267 51.168 2-0.030 4
15~160.148 101.794 70.195 71.646 6-0.195 7
16~170.303 101.655 60.0771.352 5-0.077
17~180.551 50.159 51.561 40.291 31.01-0.131 8
注:Δf＝f(αmin)-f(αmax)。
3．2多重分形谱参数与流量变化量的关系
通过前面的仿真分析可知，多重分形谱的参数Δα和Δf可以在一定程度上反映流量波动幅度的变化。为进一步分析多重分形谱与流量变化量之间的关系，定义Zi为描述一定时间间隔Δt下的平均流量I(ti)的变化为
Zi=ln [I(ti)/I(ti-1)](11)
时间标度Δt选为1 h，则I(ti)表示为第i h的平均流量，I(ti-1)表示为第(i-1) h的平均流量，这样每小时分别都有一个Zi、Δαi和Δfi[9]。
这里选取2006年3月15日的15:00至3月28日10:00共307 h流量序列分析Δαi和Δfi随Zi变化的分布图，如图2所示。可以看出，Zi偏离原点越远Δαi越大，即流量的变化越大Δαi越大；同时，｜Zi｜较小时，｜Δfi｜较大的概率大。这说明多重分形谱参数与平均流量的变化存在一定的相关性。
进一步，图3为2005年3月16日以小时为分析单元、分辨率为分钟时流量序列的方差对数、Δα、平均流量对数及Δf的序列图。从图3可以明显看出，Δα的分布与方差的变化惊人地相似。而从24 h平均流量的对数图可以看出，其共有五个低谷，分别是3:00~4:00、7:00~8:00、13:00~14:00、16:00~17：00及19:00~17:00。而Δf的低谷共有七个，分别是2:00~
3:00、6:00~7:00、9:00~10:00、12:00~13:00、15:00~16:00、18:00~19:00及21:00~22:00。除了两个时段外，其他时段Δf的波谷出现时间比平均流量对数波谷要早1 h。如果这种现象是普遍的，则Δf就可以用来预测流量的变化趋势。它们之间进一步的关联关系及采用多重分形谱实现网络流量序列的预测是笔者后续研究的内容。
4结束语
由于多重分形谱在某些情况下可以描述系统中丰富的突发信息，是一种描述复杂系统突发特性的数学方法。本文研究了局域网流量序列的多重分形特征，证实了在网络流量序列中存在局部奇异特性,并进一步分析了多重分形谱参数与网络流量序列变化量之间的关联关系。为进一步实现网络流量预测奠定了理论基础，对网络设计、性能估计和网络协议的制定等都具有十分重要的意义。
