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上海市2008年高中数学教师晋升高级职称考试试题中有这样一道题:
已知α,β为锐角.
(1)求证:sinα+sinβ≠sin(α+β);
(2)若sin2α+sin2β=sin(α+β),求证:α+β=π2.
参加考试的都是从教十年以上的数学教师,许多还是各校、区的中青年骨干,但对这道题的解答却不容乐观.许多教师能较好地解答第(1)问,不能完整地解答第(2)问.这里我们从大部分教师的解题失败出发,找出失败的原因,逐步分析出正确的解法,与大家共同经历一个思维的过程,并以小见大地分析教师在解题学习与教学中的缺憾.
一、教师学的缺失
首先,大部分教师能用反证法,结合和差化积知识证明第(1)问:
（1）反设:sinα+sinβ=sin(α+β),则2sinα+β2cosα-β2=2sinα+β2cosα+β2.又α,β∈(0,π2),
∴α+β2∈(0,π2),α-β2∈(-π4,π4),
∴α+β2=-α-β2,或α+β2=α-β2,
∴α=0或β=0与α,β∈(0,π2)矛盾.
∴sinα+sinβ≠sin(α+β).
对第(2)问也延续第(1)问的方法,处理成:
1-cos2α2+1-cos2β2=sin(α+β),
即1-cos(α+β)cos(α-β)=sin(α+β).
发现不能消去α-β和1,无法求得α+β的三角函数值,或使式子变得单纯,证明陷入困境.很多人无法调整,又不能回头追寻新的方法,结果无功而返.
1.缺乏解题分析的自觉性
上述过程中,问题(2)没有解决,也很少有教师能自觉地分析自身解题的成败得失,吸取教训,挖掘有利因素,逐步向目标靠拢.事实上,事物往往具有两面性,我们不能消去α-β,就应当进一步注意结论中的“1”,联想sin(α+β)的有界性,向目标靠近一大步.
思路1 由sin(α+β)≤1,得cos(α+β)cos(α-β)≥0,又α+β∈(0,π),α-β∈(-π2,π2),
∴cos(α+β)≥0,故0<α+β≤π2.
这样,α+β的范围变小了,由π2联想把正、余弦互换,进一步控制范围,使问题得证:由0<α≤π2-β<π2,得0<sinα≤cosβ;同理,0<sinβ≤cosα.
∴sin2α+sin2β≤sinαcosβ+cosαsinβ=sin(α+β),
当且仅当sinα=cosβ,sinβ=cosα时,等号成立.
∴α+β=π2.
这个方法虽千回百转,但抓住失败的原因,突出其他有利因素,成功地完成了证明.
从教师的解题失败中,我们明显地感觉到,这些教师很大程度上仍停留在对题型的简单记忆和方法模仿上,思维的惯性太大,缺乏对解题过程的自觉评估、有意监控,尤其是对不利、有利因素的全面分析,解题仅是一个“记流水账”的过程.
上述方法最关键的是,将范围缩小到0<α+β≤π2,然后正、余弦互换,成功地完成了不等式放缩.抓住了这个关键,我们可以省去前面的解题回路,得到更为简洁的方法.请看:
思路2 反设0<α+β<π2,或α+β>π2,与思路1后面一样分别可得:
sin2α+sin2β<sin(α+β),sin2α+sin2β>sin(α+β)与题设矛盾.
∴α+β=π2.
2.缺乏对反证法的全面认识
第(1)问的结论以否定形式出现,教师都想到了反证法,证明奏效了.第(2)问以肯定的形式出现,反证法意识明显弱化.反证法往往是正面证明有困难时更需要想到的,我们常谓“正难则反”就是这个道理.现在(2)的正面突破有困难,你为什么不“反”呢?一反就很容易形成上面的思路2了.
其实,结论中也有解题信息.对于(1)我们也不要因为否定形式就一定用反证法,从正面思考,自然会问:不等!那是“恒大于?”“恒小于?”抑或“时大时小?”.如果是“恒大于”或“恒小于”直接证明也许更简单.于是产生:
思路3 (1)∵α,β∈(0,π2),
∴0<cosα,cosβ<1,
∴sinα+sinβ>sinαcosβ+cosαsinβ=sin(α+β),显然sinα+sinβ≠sin(α+β).
这个过程对问题(2)的方法暗示程度更高,更有借鉴的价值!可见,大部分教师对反证法的理解也只停留在语言形式的表象上,没有从结论的本质上去认识反证法.
3.缺乏对数学对象的辩证思考
数学对象的深刻认识,就建立在对其多角度的观察上,是辩证思考的结果.证明的开始,大家就陷入了习惯思维的窠臼,都只想从繁到简,从左到右,一个劲地埋头向右,连抬头看左的时间都没有.其实,谁都明白对一个公式(比较重要的等式)就有正用、逆用,证明也常从左到右、从右到左或左右开弓.对这个问题,如果我们辩证地处理,从右向左,很容易想到解题目标和放缩法,方法显得更加统一、自然.
思路4 (1)将思路3倒过来书写即可.(2)sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,要等于sin2α+sin2β,显然要比较sinα与cosβ,sinβ与cosα的大小.化同名后,就发现要比较α与π2-β的大小,这样就很自然地形成了反证法思路2或与之相仿的正面讨论.
4.缺乏数形沟通的能力
许多教师也试图从几何图形上给出(2)的证明,但只知道把角α和β放在同一个三角形中,利用补角π-(α+β)形成sin(α+β),没能够挖掘(2)所蕴涵的代数结构与几何结构的关系,解题同样未能奏效.参照“结论(α+β=π2)中的解题信息”,则(2)的条件满足sin2α+sin2β=sin(α+β)=sin2(α+β),是勾股定理(余弦定理)结构,联想到构造的图形不仅应考虑到角,出现α,β,α+β,也要考虑边,出现sinα,sinβ,sin(α+β),利用单位圆或斜边长为1的直角三角形,就容易构造出如下的几何方法.
思路5 如右图,OA=1,∠ACO=∠ABO=90°,则AB=sinα,AC=sinβ,且O,B,A,C四点在以OA为直径的圆上.
∴BC=2Rsin(α+β)=sin(α+β).在△ABC中,由余弦定理,得sin2(α+β)=sin2α+sin2β+2sinαsinβcos(α+β),
∴sin2(α+β)=sin(α+β)+2sinαsinβcos(α+β),
∴2sinαsinβcos(α+β)=sin(α+β)[sin(α+β)-1]≤0,
∴cos(α+β)≤0.在△OBC中,由余弦定理,得sin2(α+β)=cos2α+cos2β-2cosαcosβcos(α+β)=2-sin(α+β)-2cosαcosβcos(α+β),
∴2cosαcosβcos(α+β)=2-sin(α+β)-sin2(α+β)≥0,
∴cos(α+β)≥0.
∴cos(α+β)=0,即得α+β=π2.
在△ABC中的一个附带结论就是sinα+sinβ>sin(α+β),这个图形能将(1)(2)问统一在一起,进一步说明以sinα,sinβ,sin(α+β)为边的构造是明智的选择.
二、教师教的遗憾
我们一直追求教学相长.尤其在新课程建设的今天,更应当突出学习能力的提高,学习自觉性的提升.教师自身在解题学习中的浅尝辄止,必然会表现在课堂教学中,上述问题的解决也反映教师在教学方面有许多值得改进的地方.
1.对教材深度阅读的遗憾
在《两角和与差的三角函数》一节中,每个版本的教材都有类似于(1)的问题,像人教社的大纲教材《高一数学(下)》第38页,课标教材《人教A版·必修④》第139页,《北师大版·必修④》第127页,《苏教版·必修④》第101页都有,上海教师用的新课标沪教版《数学高一·第二学期》第51页旁白有:“一般地,sin(α+β)≠sinα+sinβ,cos(α+β)≠cosα+cosβ.”遗憾的是现在大部分教师对教材的重视仍然不够,尤其是有一定教学经验的教师,更容易陷入经验主义的“想当然”.他们认为,依教材无法应对高考,急功近利,盲目地堆砌题目.事实上,近年的高考特别注重“双基”的考查,区分度较大的压轴题的方法也多蕴藏在书本的例、习题中,上海试题的表现尤甚.课本既然说:“一般地”,那么有没有“特殊地”,特殊在哪?如何证明?怎样的证明更本质?相信善于深入研究的教师,在教这段内容的时候很容易得到较为简洁的思路3.
2.对提出新问题教学的遗憾
问题是学生学习的驱动力,是教师吸引学生、组织教学的关键.能不断提出好的问题,就能更好地促进数学学习.对于问题(1),相信大部分教师在课堂上,或让学生猜想、反驳,或是自己强调,但没有深入,放过了一个好问题,造成了一片遗憾.如果能在针对:“一般地,sin(α+β)≠sinα+sinβ,cos(α+β)≠cosα+cosβ”的研究之后,再提出一些新问题,作为促进师生共同提高的手段会更好.如,提出姐妹题:“何时sin(α-β)=sinαsinβ,cos(α+β)=cosα±cosβ?”控制范围的深入题:“α,β∈[0,2π)时,sinα+sinβ与sin(α+β)的关系如何?”“α,β∈(0,π2)时,sinα+sinβ与sin(α+β)的关系如何?”在发现当α,β∈(0,π2)时sinα+sinβ>sin(α+β)后,也可以想到(0,1)上的数平方后会变小,故能提出:“sin2α+sin2β与sin(α+β)能相等吗?”这样较高层次的新问题.
在问题的提出和解决过程中,教师由于思维定势的影响,往往只提出促进正面思考的问题.如:“这是什么类型的问题?”“这个问题和什么熟悉的问题相似?”等等.如果教师能常用:“不是这样,又当怎样?”从反面提问往往会别有洞天.如对问题(2)的结论用这样的方式处理,就很容易就α+β<π2,α+β>π2展开讨论或反驳;对条件用这样的方式处理,就可以形成:“sin2α+sin2β>sin(α+β),则α+β>π2”“sin2α+sin2β<sin(α+β),则α+β<π2”两个新问题.在课堂教学中,经常采用反问的手段,对于处理非常规性问题和启迪学生思维都有很大帮助,同时,对教师自身的专业水平提升也有很大效果.
3.对暴露思维教学的遗憾
我们强调“暴露思维过程”,但从教师答题的自我调控中,可以清楚地看出教师对暴露思维过程的陌生.一个不能有效剖析自己解题过程的教师,对学生解题思维的暴露也只能停留在“结论对错”的评判上,很难深入暴露学生的思维.尤其在学生出错时,对错因的分析很难到位,不能充分利用错误中的正确因素,往往另起炉灶,给出一个正确答案了事,甚至这个正确答案也是照搬别人,没有自己的深入思考.对暴露思维过程的教学,我们不敢奢望有大师希尔伯特那样的“现场直播”,但也希望有几场教师解题失败的“转播”,告诉学生一个真实的、亲切的数学学习过程,不会损毁我们教师的光辉,只会让学生觉得数学更可信、更可学.在教师的失败与调整中,学生经历的是充满探索、惊奇的课堂,学到的是遭遇困境如何摆脱的技巧,得到的是鲜活灵动的思维.
通过以上分析,我们认为,教师在解题活动中,应加强对数学解题的自觉认识,能对自身的解题活动进行积极有效的监控,不断调整解题思路,多角度地审视问题的条件和结论,获得最本质的简洁的方法,尤其要注意从问题的反面去认识问题,加强对问题的立体式理解,争取形成有创新意义的新认识.在解题教学中,应更加深入、主动地再现自身的解题经历,特别是解题失败与调整过程的思维活动,让学生有一个学思维的模板,真正从根本上帮助学生会学数学、学好的数学;对学生暴露出的思维要有一个明确的优劣评价,指出错误的原因和其中蕴涵的成功因素,让他们学会“拐弯”,自己生长知识,这样得来的知识、方法更牢固.
