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三角形等积分割线分析论文
三角形等积分割线分析论文 问题1：请用一条直线，把△ABC分割为面积相等的两部分。解：取BC的中点，记为点D，连结AD，则AD所在直线把△ABC分成面积 相等的两个部分。
大家知道，这样分割线一共有三条，分别是经过△ABC的三条中线的直线， 能把△ABC的面积分成相等两部分。除了这三条以外，还有很多种，并且对于 △ABC边上任意一点，都可以找到一条经过这点且把三角形面积平分的直线。
问题2：点E是△ABC中AB边上的任意一点，且AE≠BE，过点E求作一条直 线，把△ABC分成面积相等的两部分。
解：如图2，取AB的中点D，连结CD，过点D作DF∥CE，交BC于点F， 则直线EF就是所求的分割线。
证明：设CD、EF相交于点P ∵点D是AB的中点 ∴AD=BD∴S△CAD=S△CBD ∴S四边形CAEP＋S△PED=S四边形DPFB＋S△PCF 又∵DF∥CE∴S△FED=S△DCF（同底等高） 即：S△PED=S△PCF ∴S四边形CAEP=S四边形DPFB ∴S四边形CAEP＋SPCF=S四边形DPFB＋S△PED 即S四边形AEFC=S△EBF 由此可知，把三角形面积进行平分的直线有无数条，而 且经过边上任意一条直线，运用梯形对角线的特殊性质，很容易作出这样 的分割线。那么，这些分割线会不会交于某特定的一点呢？ 大家知道，三角形的三条中线都把三角形分成面积相等的两个部分，而三 条中线交于它的重心，如果这些分割线相交于一点，那么这点必定是三角形的重 心。
问题3：已知：如图3，在△ABC中，G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC 交AB于点E，交AC于点F，求证：S△AEF=S△ABC. 证明：延长AG，交BC于点D ∵点G是△ABC的重心 ∴AG:AD=2:3 又∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC 由本题可得：过AB边上的点E，经过重心G的直线，EF把三角形面积分为 4:5两部分，直线EF并不是三角形的等积分割线。而根据问题2，可以找到一条过 点E把三角形面积平分的一条直线，这条直线必不过重心G。
综上可知，三角形的等积分割线有无数条，而且任意给定边上一点，都可 以作出相应的等积分割线，且只有一条，所有的分割线并不相交于三角形的重心。
