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浅谈高中数学的选题与教法
浅谈高中数学的选题与教法 在数学教学中，习题教学是很重要的教学环节。如何选择有代表性的题目， 怎样通过习题教学提高学生的基本能力，这是我们每个教育工作者一直在研究的 课题。下面谈一谈我的一点体会。
一． 认真选择考查基本概念的题目。
这类题目的选择，必须在认真钻研教科书阅读教学大纲的基础上，结合高 考信息，进行有目的地选择。如《复数》这一章，几乎每年高考都要考查，而每 年的考题都是模的问题和幅角主值问题。
例1. 设复数Z满足│Z│=1/2,求复数Z-1的辐角主值和模的范围。
[分析]：│Z│=1/2是如图所示的圆，Z-1表示Z在圆上运动时，向量CA确定 复数.即求向量CA(差向量)的长度及辐角主值的变化范围。
[解]由图可知：Z运动到D.E时， │Z-1│取得最小和最大值。所以， │Z-1│min=1/2,│Z-1│max=3/2 即：1/2≤│Z-1│≤3/2 当Z运动到A和B时，Ф ∠ECA=∠ECB=π/6 所以5π/6≤arg(Z-1)≤7π/6 例2 （92年高考题）已知复数Z的模为2，则│Z-i│的最大值………………() (A)1 (B)2 (C) √5 (D) 3 [分析]：如图，∣Z-i∣表示当Z圆上 运动时，点Z到A的长度的最大值。
[解]：当Z运动到B时，∣Z-i∣最大 ，所以 ∣Z-i∣max=1+2=3 故选择答案（D） 在教学中，注意选择综合基本定义，基本原理的题目，样 的题才是所谓的好题。如在椭圆定义的教学时，选择了这样道 选择题：
例2. 椭圆9X2+25y2=225上有一点P到左准线的距离是2， 5，那么，点P 到右焦点的距离是………………( ) (A)8 (B)25/8 (C) 9/2 (D) 15/8 [分析]：设H,K为椭圆的准线，由椭圆的第二定义，可求出 ∣PF1∣,再由椭圆的第一定义2a-∣PF1∣=∣PF2∣即可求出 ∣PF2∣. [解]：∣PF1∣/∣PK∣=e=4/5 a=5 ∣PF1∣=∣PF2∣e=2 又∣PF1∣+∣PF2∣=10 所以 ∣PF2∣=10-∣PF1∣=10-2=8 上面的例题，好就好在它将椭圆定义与圆锥曲线的统一定义有机地结合起 来。
不仅如此，数学复习时，还要求我们教师引导学生进行归纳总结，使学生 对重点内容有更进一步的理解。如等差数列这一单元内容学过之后，习题课上我 们进行这样的总结，等差数列：
an=a1+(n-1)d 当d≠0时,an是n的一次函数.当d=0时,an=a1,an是常值函数. (1)公差d的几何意义:d=(an-a1)/(n-1)=(f(n)-f(1))/(n-1) 表示经过(n,f(n))(1,f(1))两点直线的斜率. (2)等差数列的求和特点:(i)n有限自然数n为偶数时a1+an=a2+an-1=……=……(等距项的和相等) n为奇数时a1+an=a2+an-1=……=……(除中间一项a(n+1)/2项)等距项的和 相等. (ii)等差数列d≠0时,前n项和Sn是关于n的二次函数,当Sn最大或最小时,我 们可以借助于二次函数,来求Sn的最大或最小值,只是n∈N,我们还可以通过对等 差数列性质的研究来寻求解决Sn最大或最小值的另一种方法.对于等差数列:当 a10 d0时,此数列为递减数列,满足当an≥0且an+1≤0的n使Sn有最大值;当a10且d0时, 此数列递增,满足a1≤0且an+1≥0的n使Sn有最小值. 使用数列的性质来求Sn的最大或最小值,比使用二次函数更简单. 例4.(92年高考题)等差数列{an}的前n项和Sn,已知a3=12.S120.S130. (1) 求公差d的范围;
(2) 指出S1.S2……,S12哪个最大,并说明理由 [分析]根据上面的归纳可知这里a10 d0才会有S120且S130 [解](1)S120 S130 S12=12(a1+a12)/2 0 S13=13(a1+a13)/20 又a1=a3-2d a13=a3+10d a12=a3+9d 由S120得d-24/7 由S130 得d-3所以 -24/7d-3 (2)-24/7d-3 则a60 a70 所以S6最大 下面一题也是考查上面的原理:试问数列 lg100.lg(100sinπ/4)……,lg(100sinn-1π/4),前多少项的和最大并求出这个最大值 (lg2=0.3010) (79年高考题) 二.注意在习题教学时,进行合理地”变化”和”引申”,使学生对问题有更全面, 更深刻的理解. 近几年高考信息表明,许多问题是教科书上例题或习题的变形.所以,我们平时就应该对所讲的习题进行有目的地拓宽和加深.如高中代数第三册68页第12 题,原题为:从1.3.5.7.9中任取三个数字,从2.4.6.8中,任取两个数字,组成没有重复数 字的五位数,一共可以组成多少个数 [分析]此题属于排列与组合的综合题,解法也容易想. [解]共可组成N=C35C24P55=720个五位数 此题若稍有变化,在”2.4.6.8”中再加入一个数字”0”,求一共可组成多少个五 位数 [解]直接计算法:C35C24P55+C35C14P14P44=11040(个) 间接计算法：C35C25P55-C35C14P44=11040(个) 所谓“万变不离其中”。尽管题目千变万化，但只要我们紧紧地抓住解题方法和 要领。就能以“不变”应“万变”，这也是我们对一些习题进行合理“变化”的目的所 在。
如高中代数第三册64页例4讲过之后，我们给出这样一道题：
例5.从{3，6，9}∪{1，2，4，5，7，8，10}中任取两个数字，求能被3整 除的数的个数。
[分析]：能被3整除的数对个数等于从3，6，9中任取两个数与从3，6，9 和1，2，4，5，7，8，10中各取一个的组合数的和相等。
[解法一]：N=C23+C13C17=24(对) 此题若这样考虑：满足条件的数对个数等于从{1，2，3，4，5，6，7，8， 9，10}中任取两个数字的组合数减去其中没有3，6，9的组合数，即 [解法二]：N=C210-C27=24(对) 与书上例4比较，上述过程也就相当于把{3，6，9}作为次品，{1，2，4， 5，7，8，10}作为合格品。从中任取两件产品，求至少有一件次品的选法。通过 这样的训练，不但巩固了所学的内容，而且也使学生逐渐获得了抽象思维的能力， 达到了举一反三的功效。例6.已知集合A,B各含有12个元素，且A∩B含有4各元素，另有集合C,含有 3个元素且满足C是A并B的真子集和C∩A≠φ,求这样的集合C有多少个？ [分析]：与例5的思维过程相比较，保证C真包含于A∪B和 C∩A≠Ф只须考虑C真包含于A∪B且C∩A=Ф的情况，即C与A没有相同的 元素，只能是4个元素均从B中与A不同的8个元素中取。
[解]：间接计算法：N=C320-C38=1084(个) 上述思维过程就相当于将A中元素看作次品，将B中与A不同的8各元素看 作合格品，从中任取3个元素，求至少有一种次品的取法。
三.注重一题多解。
通过一题多解的训练，能培养学生运用所学知识解决实际问题的能力，培 养学生的求异思维，而且有利于学生选择最优解法。
[解法一]：设椭圆中心为O’(h,0) 则a2/c-c=2………………..(1) e=c/a…………………..(2) 解得：a=4√3 c=6 b=2√3 又h=1+c=7 故所求方程为 （X-7）2/48+Y2/12=1 认真审题回发现，此题条件焦点 和准线必是椭圆的左焦点和左准线，并且 此题离心率是已知的，所以，很容易想到 应用椭圆的第二定义解决此题。
[解法二]：设P(x,y)为椭圆上任一点。K为P到准线的垂线段的垂足，则∣PF1∣/∣PF2∣=e 即√(X-1)2+Y2 / ∣X-1∣=√3 /2 整理，得椭圆方程。
解法二堪称绝妙！因为它有效地利用所给条件，应用圆锥曲线的统一定义解决 问题，同时避免了解方程的计算。很多问题的解法需要我们认真揣摩，优选出最 佳解法。
四.注重学生基本能力的培养。
通过中学数学的学习，我认为应着重培养学生（A）函数相关的思想；
（B） 方程（不等式）的思想；
（C）转化与变化的思想；
（D） 数形结合的思想。所以，对于综合题的训练，我们注意了选题不但训练上述基 本能力，而且使所选的题目含有丰富的镝。
例9.已知Z1=X+√3+Yi,Z2=X-√3+Yi且∣Z1∣+∣Z2∣=4 求d=∣X-Y+√10 ∣/√2 的最大（小）值。
[分析]：解数学题就好比“解开绳扣一样”如果一眼就能看出“绳扣”在哪， 就不能有效地训练学生的思维，发挥题的功能。相反，应多给学生提供“寻找绳 扣”的机会。本题应该搞清两个关键性的问题。一是∣Z1∣+∣Z2∣=4的几何意 义；
二是d的几何意义。由∣Z1∣+∣Z2∣=4代入模的公式，得√(X+√3)2+Y2 +√(X-√3)2+Y2 =4这个方程表示什么？仔细研究会发现它表示一个椭圆。
另外，d表示该椭圆上的点到直线的距离。于是，两个“绳扣”找到了。
[解]：∣Z1∣+∣Z2∣=4等价于方程X2/4+Y2=1 设椭圆上与X-Y+√10 =0平行的切线为X-Y+m=0 解方程组X-Y+m=0…………….(1) X2/4+Y2=1 ……………(2) (1) 代入（2）得：5X2+8mX+4m2-4=0 由⊿=0得m=±√5 即得椭圆的切线方程为X-Y±√5 =0 所以dmin=√5(2-√2) /2 dmax =√5(2+√2) /2 求d的最值，也可以应用参数方程来解，我们只须写出椭圆的参数方程， 即X=2cosα Y=sinα再代入点到直线的距离公式，就能很简捷地求得。
总之 ，只要我们认真钻研，精心选题，就一定能跳出“题海”的束缚。从 而，最大限度地减轻学生的课业负担，也提到了教学质量。
