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变式教学中习题研究论文
变式教学中习题研究论文 “引申”主要是指对例习题进行变通推广，重新认识．恰当合理的引申能营 造一种生动活泼、宽松自由的氛围，开阔学生的视野，激发学生的情趣，有助于 培养学生的探索精神和创新意识，并能使学生举一反三、事半功倍．笔者在教学 视导中发现，有些教师对引申的“度”把握不准确，不能因材施教，单纯地为了引 申而引申，给学生造成了过重的学习和心理负担，使学生产生了逆反心理，“高 投入、低产出”，事倍而功半．下面就引申要注意的几个问题谈点个人的看法． 1引申要在原例习题的基础上进行，要自然流畅，不能“拉郎配”，要有利 于学生通过引申题目的解答，加深对所学知识的理解和掌握 如在新授定理“ａ，ｂ∈Ｒ＋，（ａ＋ｂ）／2）≥（当且仅当ａ＝ｂ时取“＝” 号）”的应用时，给出了如下的例题及引申：ダ1已知ｘ＞0，求ｙ＝ｘ＋（1／ｘ）的最小值． ヒ申1ｘ∈Ｒ，函数ｙ＝ｘ＋（1／ｘ）有最小值吗为什么 引申2已知ｘ＞0，求ｙ＝ｘ＋（2／ｘ）的最小值；
引申3函数ｙ＝（ｘ２＋3）／的最小值为2吗 由该例题及三个引申的解答，使学生加深了对定理成立的三个条件“一正、 二定、三相等”的理解与掌握，为定理的正确使用打下了较坚实的基础． 例2求函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（2ｘ／3）＋ｃｏｓ[（2ｘ／3）－（π／6）] 的振幅、周期、单调区间及最大值与最小值． 这是一个研究函数性质的典型习题，利用和差化积公式可化为ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ（（2ｘ／3）－（π／3）），从而可求出所要的结论．现把本例作如下引 申：
引申1求函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（2ｘ／3）＋ｃｏｓ[（2ｘ／3）－（π／6）） 的对称轴方程、对称中心及相邻两条对称轴之间的距离． 引申2函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎ（2ｘ／3）＋ｃｏｓ（（2ｘ／3）－（π／6）） 的图象与ｙ＝ｃｏｓｘ的图象之间有什么关系以上两个引申的结论都是在相同的题干下进行的，引申的出现较为自然， 它能使学生对三角函数的图象及性质、图象的变换规律及和积互化公式进行全面 的复习与掌握，有助于提高学习效率． 2引申要限制在学生思维水平的“最近发展区”上，引申题目的解决要在学 生已有的认知基础之上，并且要结合教学的内容、目的和要求，要有助于学生对 本节课内容的掌握 如在新授定理“ａ，ｂ∈Ｒ＋，（ａ＋ｂ／2）≥（当且仅当ａ＝ｂ时取“＝” 号）”的应用时，把引申3改为：求函数ｙ＝（ｘ２＋3）／的最小值，则显得有 些不妥．因为本节课的重点是让学生熟悉不等式的应用，而解答引申3不但要指 出函数的最小值不是2，而且还要借助于函数的单调性求出最小值，这样本堂课 就要用不少时间去证明单调性，“干扰”了“不等式应用”这一“主干”知识的传授；
但若作为课后思考题让学生去讨论，则将是一种较好的设计． 3引申要有梯度，循序渐进，切不可搞“一步到位”，否则会使学生产生畏 难情绪，影响问题的解决，降低学习的效率 如在新授利用数学归纳法证明几何问题时，《代数》（非实验修订本）课 本给出了例题：平面内有ｎ条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点， 证明交点的个数ｆ（ｎ）等于（1／2）ｎ（ｎ－1）．在证明的过程中，引导学 生注意观察ｆ（ｋ）与ｆ（ｋ＋１）的关系有ｆ（ｋ＋1）－ｆ（ｋ）＝ｋ，从 而给出：
引申1平面内有条ｎ直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点， 求这ｎ条直线共有几个交点 此引申自然恰当，变证明为探索，使学生在探索ｆ（ｋ）与ｆ（ｋ＋1） 的关系的过程中得了答案，而且巩固加深了对数学归纳法证明几何问题的一般方 法的理解．类似地还可以给出 引申2平面内有ｎ条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点， 该ｎ条直线把平面分成ｆ（ｎ）个区域，则ｆ（ｎ＋1）＝ｆ（ｎ）＋_______________． 引申3平面内有ｎ条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点， 该ｎ条直线把平面分成ｆ（ｎ）个区域，求ｆ（ｎ）．上述引申3在引申1与引申2的基础上很容易掌握，但若没有引申1与引申2 而直接给出引申3，学生解决起来就非常困难，对树立学生的学习信心是不利的， 从而也降低了学习的效率． 4提倡让学生参与题目的引申 引申并不是教师的“专利”，教师必须转变观念，发扬教学民主，师生双方 密切配合，交流互动，只要是学生能够引申的，教师绝不包办代替．学生引申有 困难的，可在教师的点拨与启发下完成，这样可以调动学生学习的积极性，提高 学生参与创新的意识． 如在学习向量的加法与减法时，有这样一个习题：化简＋＋． （试验修订本下册P．103习题5．2的第6小题）在引导学生给出解答后， 教师提出如下思考：
①你能用文字叙述该题吗 通过讨论，畅所欲言、补充完善，会有：
引申1如果三个向量首尾连接可以构成三角形，且这三个向量的方向顺序 一致（顺时针或逆时针），则这三个向量的代数和为零． ②大家再讨论一下，这个结论是否只对三角形适合 通过讨论学生首先想到对四边形适合，从而有 引申2+++＝0． ③大家再想一想或动笔画一画满足引申2的这四个向量是否一定可构成四 边形 在教师的启发下不难得到结论：四个向量首尾相连不论是否可形成四边形， 只要它们的方向顺序一致，则这四个向量的代数和为零． ④进一步启发，学生自己就可得出ｎ条封闭折线的一个性质：
引申3＋＋＋…＋＋＝0．最后再让学生思考若把＋＋＝0改为任意的三个向量ａ＋ｂ＋ｃ＝0，则这 三个向量是否还可以构成三角形这就是Ｐ．103习题5．2的第7小题，学生很容易 得出答案．至此，学生大脑中原有的认知结构被激活，学生的求知欲被唤起，形 成了教师乐教、学生乐学的良好局面． 5引申题目的数量要有“度” 引申过多，不但会造成题海，会增加无效劳动和加重学生的负担，而且还 会使学生产生逆反心理，对解题产生厌烦情绪．笔者在一次听课时，有位青年教 师对一道例题连续给出了10个引申，而且在难度上逐渐加大，最后引申的题目与 例题无论在内容上还是在解题方法上都相关不大，这样的引申不仅对学生学习本 节课内容没有帮助，而且超出了学生的接受能力，教学效果也就会大打折扣． 综上所述，变式教学中习题的引申方式、形式及内容，要根据教材的内容 和学生的情况来安排，因材施教是课堂教学永远要坚持的原则，恰当合理的引申， 可使学生一题多解和多题一解，有助于学生把知识学活，有助于学生举一反三、 触类旁通，有助于学生产生学习的“最佳动机”和激发学生的灵感，它能升华学生 的思维，培养学生的创新意识． げ慰嘉南 1张宪铸币坏老蛄肯疤獾耐乒慵坝τ锚笔学通讯，2001，17
