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数学课堂教学中习题的选配原则与功能
数学课堂教学中习题的选配原则与功能 数学课堂教学中习题的选配原则与功能 江苏省丰县中学 江远忠 摘要：本文主要阐述了数学习题在数学课堂教学中的重要作用，从提高 教学效果的角度着重探讨了数学习题的选配原则以及要实现的三个功能，从而达 到深化、改革课堂教学的目的。
１、数学习题的定义 “使学生熟悉和掌握数学大纲、教学计划的要求，发展学生智能的问题称 为习题。以数学为内容、或不以数学为内容但必须运用数学知识或数学思想方法 才能解决的习题称为数学习题” ⑴ 。它包括教师提出的问题、例题、练习、测 试及课外的演练、实际生活中的调查和探索等多种形式。但在本课题实施研究时， 面临的数学习题主要是教师提出的问题、例题、练习三种形式，本文仅对这三种 形式作论述。
2、数学习题的选配原则 针对不同的背景和用途，数学习题的选配原则有其差别。从有利于课堂教 学的实施分析 , 数学习题的选配应遵循以下两个基本原则：
2.1 启发性原则 按照心理学的观点，创设情景，激起学生学习动机和热情，引导学生主动 思考是学习成败的关键。现代教学论强调以教师为主导，学生为主体，即教师要 千方百计地使学生积极主动地学习，当然，启而得法，才能诱之有效。因此，数 学习题的选配首先要遵循启发性原则。根据不同的知识背景“启发性”又表现在以 下几个方面：
2.1.1 激趣 主要体现在对学生心理上创设一种愉悦、欢快的心境，使学生学习的欲望 突然强烈，呈现一种跃跃欲试的状态。
如《立几》开篇，给出以下几个问题：⑴三刀最多可把一块豆腐切成几块？ ⑵给你六根火柴棒，你能摆出几个正三角形？ 学生的思维将会带入空间想象，将学生兴奋的情绪带入学习状态。
2.1.2 设疑 “没有比问题是数学思维的更好切入点”。数学习题的恰当选择非常好地提 供了介绍新知识，实现新旧知识“同化”的一条途径，即通过设置新问题（旧的知 识解决不了），引导学生共同探讨新的途径。
如“虚数”的引入：
给出方程 x2 +x +2 = 0 计算 (x12 +x22 ) 值 当同学们利用韦达定理计算出 x12 +x22 =-3 后，他们愕然了！ 什么原因？… 2.1.3 “凸知” 很多数学知识的背景存在于简单的问题情景中。合理组合数学习题，将问 题结论暴露给学生，往往学生不需教师的讲解而能自悟出一般化的结论，从而达 到由“量”到“质”的思维上的跳跃，并且有利于培养学生的创新意识。
如：求出以下函数的反函数，并在同一坐标系中画出它们的图象：
⑴ y=2x ⑵ y=x2 +1 (x ≥ 0) ⑶ y=1/(x-1) 在上面三组函数图象的启发下，想信每个学生都能给出“函数与其反函数 的图象关于直线 y=x 对称”这一一般化的结论。
2.1.4 铺垫 对学生而言，数学习题的“难易”程度，关键是“铺垫”这个环节是否做得到 位、准确。因此，数学习题设计的好，就可以让学生实现“新”与“旧”、“难”与“易”、 “繁”与“简”、 “小”与“大”的转化，突破思维的难点。如某题，在⑴班给出时，是这样一种形式：
“求函数 y=lg ( x-1-x ) 的反函数” 结果全班仅有两人正确解出，大部分同学对求反函数的定义域模糊不清。
那么在下节课⑵班教学时，我增加了两问，设置“铺垫”：
已知函数 y=lg ( x-1-x ) ⑴求该函数的定义域 ⑵讨论该函数的单调性 ⑶求函数的反函数 结果就有 60% 的同学顺利完成。
由此可见“铺垫”作用！更多的情形下，实施本课题的数学习题的“铺垫”作 用，是用来实现：让学生自主完成由“易”到 “难”的推理过渡，培养学生独立分 析、判断、解决问题的能力，真正意义上做到“教师不讲或少讲”。
2.2 巩固性原则 教育心理学的观点，人的认知结构的形成主要体现在新旧知识的“同化” 和“顺应”。新知识输入认知结构以后，并不是原封不动地贮存起来，一方面，“要 进一步加工整理，使新知识获得意义并组成新的认知结构，即使在知识的保持阶 段，同化过程还在继续” ⑵ ；
另一方面，同化过程进行的同时，即是有意义保 持的心理过程，在这个过程中，一部分知识在转化为新知识保持的同时，还有一 部分新知将会被遗忘，因此，数学课堂教学中合理选配数学习题使之能起到巩固 的作用，从而达到转化新知、深化理解、反馈问题、减少遗忘。“巩固性原则” 的体现形式有：
2.2.1 巩固 一个新的概念、定理及其它知识点形成之后，如何有效地纳入原有知识， 并顺利实现新旧知识的“同化”，并能合理地运用到解决实际问题，这个过程就是 巩固。如，学过“配方法求最值”后，给出相应数学习题：
求下列函数的最值 1. y=-x2 +2x 2. y=x2 -x+1 (x ≥ 1) 3. y=x2 +2ax 学生通过对上述问题的实际操作，不仅强化了“配方法”的具体意义，而且 明白了求二次函数的最值不仅可以利用 (4ac-b2 )/4a 确定，而且可以用配方法解 决。这样“配方法”在求“二次函数的最值”这一知识体系中得到同化，扩充了学生 头脑中“求二次函数最值”这一知识系统。
2.2.2 深化 学生对数学知识的理解首先往往是浅层次的，这就需要通过数学习题的变 换及解决，加深学生对知识的理解、掌握的程度。
仍以“配方法”为例，继续给出以下问题：
1. y=sinx+cos2x 2. y=x+ 1-x 3. y=x 4 +2x 2 -1 4. y=x/(x-1) 2 学生肯定会遇到困难，继而引导学生分别将上述各函数的形式分别变为：
1. y=-2(sinx) 2 +Sinx+1 2. y=-( 1-x) 2 + 1-x+1 3. y=(x 2 ) 2 +2 (x 2 ) -1 4. y=1/(x-1) 2 + 1/(x-1) 问题在原来基础上变得较为容易，同时，学生在解决该问题的过程中，对 “二次型”的认识又有新的体会，这也是新旧知识的“再同化”。
2.2.3 “校正”从掌握知识的纵向看，学生的理解有深浅之分，这一点由“深化”可以得到 补救，从“横向”看，学生的理解可能会有偏差，这时，就需要借助数学习题加以 校正。
如“空集”这一概念，学生看似好理解， 接着问“ {0} ”是否是￠？ { ￠ } 是否是空集？ 进一步：已知集合Ａ＝ {x 「 x2 -2ax+1=0} 且 A {1}= ￠，求实数 a 的取值范围。
这样就能有效地解决学生理解“空集”产生的一些不当和错误。
3、数学习题在课堂教学中的功能 如前所述，数学习题在本课题实施中并不是随意设置、选配的。它既要考 虑到适合本课题操作的两个原则，同时，在对数学习题的演练中，突出它所应体 现的几个功能，方能达到我们最初选择数学习题的目的。概括地说，数学习题功 能应体现出：
3.1 知识功能 通过数学习题，使学生获得较系统的数学知识，形成必要的技能、技巧。
具体地说，通过数学习题要能顺利引入新知、及时巩固知识、合理运用知识，充 分借助“数学的实质就是解题”，展示知识的发生、发展过程。
3.2 教育功能 数学的教育功能可分为两个方面，即智力和非智力的。学生对数学问题的 求解过程中，所体现出的坚强的意志、好强的个性、大胆展示等良好的心理素质， 是属于非智力培养的内容。另一方面，“数学是思维的体操”客观地反映出数学习 题的智力教育内容。这一教育内容主要通过数学的全过程来实现，数学教学的过 程，即概念的形成过程、结论的推导过程和方法的探索过程，也就是数学问题解 决的过程，通过问题解决，使学生获得和发展推理能力、化归能力，形式化地处 理问题和建立数学模型的能力，以及运用对应、函数、同构、极限、方程、图象 等数学观念解决问题的能力。当然，除以上教育功能外，数学还能给学生以美的陶冶， H.Weiyl 说过：
除了语言和音乐之外，数学是人类心灵的自由创造的最主要表现。当学生面对诸 如习题：“三个相交于一点的同样大小的圆，其两两交点也必在同样一个圆上”， 百思而不得其解时，教师给出其立几证法（见右图）。相信，它带给学生心灵的 震撼是强大的。
