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解题思路与范畴间关系研究论文
解题思路与范畴间关系研究论文 众所周知，唯物辩证法的范畴是我们认识事物的科学的思维形式．唯物辩 证法的每一对范畴都是对立的统一．它们一方面相互对立，另一方面又相互依存、 相互贯通和相互转化．恩格斯指出，数学是辩证的辅助工具和表现形式．数学与 唯物辩证法的这种天然联系，使得范畴间的辩证关系成为我们解决数学问题时发 现解题思路的主要线索．本文试对解题思路的发现与范畴间辩证关系的联系作一 初步探索，希望对教学有所帮助． 一、对偶范畴间相互对立关系的启迪 思维的定势与惯性，是影响解题思路的重要因素．根据问题的具体情况与 个人的思维习惯，当我们从某一角度观察问题或从某一角度入手探索问题而陷于 困境时，想到对偶范畴间的辩证关系，转而从原来思维的对立方面着手考察、分 析，则往往寻找到柳暗花明的新境地． 例1设ａ＞ｂ＞ｃ．求证：ａ２ｂ＋ｂ２ｃ＋ｃ２ａ＞ａｂ２＋ｂｃ２＋ ｃａ２． 分析与证明：由不等式两边的特征与联系想到运用比较法．证题的关键在 于差式（ａ２ｂ＋ｂ２ｃ＋ｃ２ａ）－（ａｂ２＋ｂｃ２＋ｃａ２）的变形． 变形1．差式＝（ａ２ｂ－ｃａ２）＋（ｂ２ｃ－ａｂ２）＋（ｃ２ａ－ ｂｃ２） ＝ａ２（ｂ－ｃ）＋ｂ２（ｃ－ａ）＋ｃ２（ａ－ｂ）． 至此，似乎无路可走． 变形2．差式＝（ａ２ｂ－ａｂ２）＋（ｂ２ｃ－ｂｃ２）＋（ｃ２ａ－ ｃａ２） ＝ａｂ（ａ－ｂ）＋ｂｃ（ｂ－ｃ）＋ｃａ（ｃ－ａ）． 如此，仍然重蹈复辙． 变形3．差式＝（ｃ２ａ－ａｂ２）＋（ａ２ｂ－ｂｃ２）＋（ｂ２ｃ－ ｃａ２）＝ａ（ｃ２－ｂ２）＋ｂ（ａ２－ｃ２）＋ｃ（ｂ２－ａ２）． 如此，仍未走出“怪圈”． 以上对差式“均匀分组”的尝试均未成功．在反思与寻觅中，受范畴间相互 对立关系的启发，想到对差式作“不均匀分组”的变形． 证法1．差式＝ａ２ｂ＋（ｂ２ｃ＋ｃ２ａ）－（ａｂ２＋ａ２ｃ）－ｂ ｃ２ ＝ｂ（ａ２－ｃ２）＋（ｂ２＋ａｃ）（ｃ－ａ） ＝（ａ－ｃ）［ｂ（ａ＋ｃ）－（ｂ２＋ａｃ）］ ＝（ａ－ｃ）（ａ－ｂ）（ｂ－ｃ）＞０． ∴原不等式成立． 探索初解为什么受阻，可以说过分“对称”组合是解题陷入困境的原因之一． 在差式的对称结组中，不对称的条件ａ＞ｂ＞ｃ难以发挥作用．于是，再由范畴 间的相互对立，想到差式的“不对称”结组． 证法2．差式＝（ａ２ｂ－ａｂ２）＋（ｂ２ｃ－ｃａ２）＋（ｃ２ａ－ ｂｃ２）（有意避开对称结组） ＝ａｂ（ａ－ｂ）＋ｃ（ｂ２－ａ２）＋ｃ２（ａ－ｂ） ＝（ａ－ｂ）［ａｂ－ｃ（ａ＋ｂ）＋ｃ２］ ＝（ａ－ｂ）（ｂ－ｃ）（ａ－ｃ）＞０． ∴原不等式成立． 再寻初解受困的缘由，除了对称（均匀）结组的思维习惯，更重要的是自 身思维的狭隘--局限于孤立考察各组的表面形式．于是对由范畴间的相互对立， 想到寻觅各组之间的内在联系，诸多新解法由此产生． 证法3．由上述变形1得差式＝ａ２（ｂ－ｃ）＋ｂ２（ｃ－ａ）＋ｃ２（ａ－ｂ） ＝ａ２（ｂ－ｃ）－ｂ２［（ａ－ｂ）＋（ｂ－ｃ）］＋ｃ２（ａ－ｂ） （刻意沟通与前后两组的联系） ＝（ｂ－ｃ）（ａ２－ｂ２）＋（ａ－ｂ）（ｃ２－ｂ２） ＝（ａ－ｂ）［（ｂ－ｃ）（ａ＋ｂ）＋（ｃ２－ｂ２）］ ＝（ａ－ｂ）（ｂ－ｃ）（ａ－ｃ）＞０． ∴原不等式成立． 其他证法从略． 二、对偶范畴间相互依存关系的点拨 在数学中，“加”与“减”，“直”与“曲”，特殊与一般，孤立与联系……这每 一对范畴的双方相互依存，或明或暗地共处于同一问题的解题过程之中．因此， 当我们从范畴的某一方入手问题未能（或取得）突破时，还应想到从范畴的另一 方入手再行考察与求索．对范畴双方顾此失彼的思维上的偏颇，是解题陷入困境 或出现疏漏的重要原因． 例2过抛物线ｙ＝ｘ２的顶点Ｏ任作互相垂直的弦ＯＡ、ＯＢ，分别以Ｏ Ａ、ＯＢ为直径作圆，并设两圆的另一交点为Ｃ，求Ｃ点的轨迹方程． 分析与解答：循着求动直（曲）线交点轨迹方程的一般思路，设Ａ（ｘ１， ｘ１２），Ｂ（ｘ2，ｘ2２），Ｃ（ｘ，ｙ），由ＯＡ⊥ＯＢ得 ｘ１ｘ2＝－１．① 以ＯＡ为直径的圆的方程为 ｘ（ｘ－ｘ１）＋ｙ（ｙ－ｘ１２）＝０，即 ｘ２＋ｙ２－ｘ１ｘ－ｘ１２ｙ＝０．② 同理，以ＯＢ为直径的圆的方程为ｘ２＋ｙ２－ｘ2ｘ－ｘ2２ｙ＝０．③ 至此，欲消参数ｘ１、ｘ2，探索中容易想到两式相减． ②－③，得ｘ１＋ｘ2＝－ｘ/ｙ．④ 下一步如何动作？至此往往陷入困境．此时，循着辩证思维的途径，由加 与减的相互依存，想到再考察②、③两式相加，则局面由此打开． 解法1．②＋③，得２（ｘ２＋ｙ２）－（ｘ１＋ｘ2）ｘ－（ｘ１２＋ｘ 2２）ｙ＝０， ２（ｘ２＋ｙ２）－（ｘ１＋ｘ2）ｘ－［（ｘ１＋ｘ2）２－２ｘ１ｘ2］・ ｙ＝０．⑤ 将①、④代入⑤并整理，得 ｘ２＋ｙ２－ｙ＝０（ｙ≠０）． 故Ｃ点的轨迹方程为 ｘ２＋（ｙ－１/２）２＝１/４（ｙ≠０）． 事实上，当我们孤立考察动圆的方程而导出②、③两式后，根据范畴间的 相互依存关系，可转而去寻觅两圆方程间的内在联系．这种联系一经发现，新的 解法便随之产生． 解法2．注意到这里ｙ≠０，考察②、③两式的联系，知ｘ１、ｘ2是二次 方程ｙｔ２＋ｘｔ－（ｘ２＋ｙ２）＝０的两实根，由韦达定理得ｘ１ｘ2＝－ （ｘ２＋ｙ２）/ｙ．⑥ 于是由①、⑥得Ｃ点的轨迹方程为 ｘ２＋（ｙ－１/２）２＝１/４（ｙ≠０）． “直”与“曲”是辩证的统一．面对所给的曲线问题，分析问题的特殊性，发 掘问题中与曲线相互依存的直线．这样的直线一经揭露，化“曲”为“直”的解法便 应运而生．解法3．由圆的性质知ＡＣ⊥ＯＣ，ＢＣ⊥ＯＣ． ∴Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线，且ＯＣ⊥ＡＢ． 设过点Ｏ且垂直ＡＢ的直线为ｌ，则Ｃ点的轨迹即为动直线ＡＢ与ｌ的交 点的轨迹（化曲为直）． ｋAB＝ｘ１＋ｘ2，直线ＡＢ的方程为ｙ－ｘ１２＝（ｘ１＋ｘ2）（ｘ －ｘ１）． 以①代入上式得ｙ－１＝（ｘ１＋ｘ2）ｘ，⑦ 又直线ｌ的方程为ｙ＝（－１/（ｘ１＋ｘ2））ｘ．⑧ ⑦×⑧并整理，得ｘ２＋ｙ２－ｙ＝０（ｙ≠０）．故Ｃ点的轨迹方程为 ｘ2＋（ｙ－１/２）２＝１/４（ｙ≠０）． 三、对偶范畴间相互贯通关系的诱导 分析问题是解决问题的前提和基础．分析的方法就是辩证的方法（毛泽东 语）．范畴间相互贯通的辩证关系，为解题思路的发现提供线索，为数学问题的 转换变通提供依据．其中，特殊与一般是最为重要的一对范畴．就认识的过程来 说，人们总是从事物的特殊性入手去认识事物的一般性，而当人们掌握了事物的 一般属性之后，又能以一般性为指导去认识尚未认知的其他特殊性质．人们对事 物的认识由此一步步引向纵深． 例3对于二次曲线Ｃk：ｘ２/（９－ｋ）＋ｙ２/（４－ｋ）＝１，证明：任取平面上一点（ａ，ｂ）（ａｂ≠０），总有Ｃk中一个椭圆和一个双曲线通过． 分析（特殊探路）：取点（1，1）代入Ｃk并整理，得ｋ２－１１ｋ＋２ ３＝０，解得 ｋ１＝（１１－）/２∈（－∞，４）， ｋ2＝（１１＋）/２∈（４，９）． 由此可知，对于ｋ＝ｋ１，Ｃk表示椭圆；
对于ｋ＝ｋ2，Ｃk表示双曲线．至此，便探知本题解题思路：
（1）取点（ａ，ｂ）（ａｂ≠０）代入Ｃk并整理，得 ｆ（ｋ）＝ｋ２＋（ａ２＋ｂ２－１３）ｋ＋（３６－４ａ２－９ｂ２） ＝０；
（2）证明ｆ（ｋ）＝０的一根在（－∞，４）内，而另一根在（４，９） 内，即证ｆ（４）＜０，ｆ（９）＞０．（证明从略） 注意到特殊与一般的辩证关系，当由问题本身难以推出所需结论时，不妨 主动“升级”，转而研究关于原命题的更具一般性的命题．这样的命题一经解决， 便如登高眺远，解题环节与问题本质纵览无余．于是，求解原来的问题便可居高 临下，一蹴而就． 例４已知Ｍ（ｘ１，ｙ１）、Ｎ（ｘ2，ｙ2）为抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ ＞０）上两点．设甲：ｙ１ｙ2＝－ｐ２；
乙：直线ＭＮ经过抛物线的焦点Ｆ． 那么甲是乙的____条件． 分析：由课本Ｐ．１０１第8题知，甲是乙的必要条件．由于条件的充分 性难以判断，故转而考察更为一般的问题：经过抛物线ｙ２＝２ｐｘ（ｐ＞０） 的轴上一点Ｑ（ａ，０）（ａ＞０）作抛物线的弦ＭＮ，寻找Ｍ、Ｎ两点纵坐标 之间的联系． 设直线ＭＮ的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－ａ），① ①代入ｙ２＝２ｐｘ，得ｙ２－（２ｐ/ｋ）ｙ－２ｐａ＝０．② 由②得ｙ１ｙ2＝－２ｐａ． 此此易见ｙ１ｙ2＝－ｐ２ａ＝ｐ/２点Ｑ即焦点Ｆ．故甲是乙的充分条件． 于是可知甲是乙的充要条件． 四、对偶范畴间相互转化关系的运用 解题过程是一系列的转化过程，其中，范畴间由此及彼的相互转化，乃是 这一系列转化中的关键环节．有关事物的定义、定理和性质是完成这种转化的桥 梁，变量替换则是以量变促发质变的基本手段．循着范畴间的辩证关系思考问题，东方不亮西方亮，南方受阻有北方，使我们得以左右周旋，转换变通，从而避繁 就简，化生为熟，发现令人满意的解题思路． 例5已知Ａ（４，０）、Ｂ（２，２）是椭圆ｘ２/２５＋ｙ２/９＝１内的 点．Ｍ是椭圆上的点，求｜ＭＡ｜＋｜ＭＢ｜的最值． 解：这里ａ＝５，ｂ＝３，ｃ＝４，Ａ（４，０）即椭圆右焦点Ｆ2．由 于这一和式的最值难以寻觅，考虑将“＋”向“－”转化． 由椭圆定义得｜ＭＦ１｜＋｜ＭＦ2｜＝１０． ∴｜ＭＡ｜＝１０－｜ＭＦ１｜（Ｆ１为椭圆左焦点）， ∴｜ＭＡ｜＋｜ＭＢ｜＝１０＋（｜ＭＢ｜－｜ＭＦ１｜），（完成“＋” 向“－”的转化） ∵｜ＭＢ｜－｜ＭＦ１｜≤｜ＢＦ１｜＝２， ∴｜ＭＡ｜＋｜ＭＢ｜≤１０＋２（当且仅当Ｍ为直线Ｆ１Ｂ与下半椭圆 的交点时等号成立）， ∴｜ＭＡ｜＋｜ＭＢ｜的最大值为１０＋２． 同理可得｜ＭＡ｜＋｜ＭＢ｜的最小值为１０－２（当且仅当Ｍ为直线Ｆ １Ｂ与上半椭圆的交点时取得）． 例６已知０＜ｘ，ｙ，ｚ＜１，且ｘ＋ｙ＋ｚ＝２，求证：１＜ｘｙ＋ｙ ｚ＋ｚｘ≤４/３． 分析与证明：根据题意，设ｘ＝１－ａ，ｙ＝１－ｂ，ｚ＝１－ｃ，则有 ａ，ｂ，ｃ∈（０，１），且ａ＋ｂ＋ｃ＝１． ∴ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ ＝（１－ａ）（１－ｂ）＋（１－ｂ）（１－ｃ）＋（１－ｃ）（１－ａ） ＝３－２（ａ＋ｂ＋ｃ）＋（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ） ＝１＋（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）＞１．①至此，上述问题转化为人们所熟悉的问题：
已知正数ａ、ｂ、ｃ，且ａ＋ｂ＋ｃ＝１．求证 ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ≤１/３．（化生为熟） 此时注意到３（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）－１ ＝３（ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ）－（ａ＋ｂ＋ｃ）２ ＝ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ－ａ２－ｂ２－ｃ２ ＝－（１/２）［（ａ－ｂ）２＋（ｂ－ｃ）２＋（ｃ－ａ）２］≤０， ∴ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ≤１/３． 于是由①得ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ≤４/３．② 综合①、②便证得１＜ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ≤４/３．
