相关热词搜索：
赵武斌 重庆邮电大学复杂系统分析与控制研究中心 重庆 400065
【文章摘要】
本文研究了文献[2] 中TiO2 忆阻振荡器在新的参数下的Lyapunov 指数谱，并运用拓扑马蹄理论对其混沌存在性给予了严格判定。
【关键词】
TiO2 忆阻；混沌；李雅普诺夫；拓扑马蹄
0 引言
2008 年惠普实验室的Williams 等成功制作出了基于金属和金属氧化物的忆阻元件，由此，忆阻元件得到了国内外研究人员的广泛关注，不少学者将其应用在电路中，并判定其混沌性，从而得到了一系列新的混沌电路，在保密通信、微弱信号检测和电子测量等领域具有潜在的应用价值。
而拓扑马蹄理论是混沌研究公认的重要基础理论。结合现代区间可靠计算， 该理论能够利用符号动力学，直接刻画混沌不变集的结构及其演化规律。因此，比Lyapunov 指数、功率谱、分岔图等传统方式，更加细致和严格。在混沌存在性的数学证明、混沌行为产生机制的揭示等研究领域，有着无可替代的作用。本文在文献[2] 的基础上，分析了TiO2 忆阻振荡器中的非线性行为，并通过拓扑马蹄理论严格证明了其混沌存在性。
1 拓扑马蹄理论
定理2.1 假设, , 为1 到之间的整数, 如果映射和满足, 是同胚映射, 并且和, 那么。
根据上述定理, 不难看出, 这里的“截隔”具有传递性, 该性质不仅有助于拓扑马蹄的寻找, 还能得出下面定理和推论, 证明见文献[8]。
定理2.2 如果映射满足对于任意, 恒成立, 那么必然存在一个紧不变集, 使半共轭于移位映射, 且有。
推论2.1: 如果存在两个完全不相交的紧子集和, 和是微分同胚, 这里和整是正数, 并且, 且。那么存在一个紧不变子集使半共轭于2 位移映射, 并且拓扑熵为。
2 TiO2 忆阻振荡器系统及Lyapunov 指数谱
文献[2] 中基于TiO2 忆阻的电路如图1 所示，其系统方程：
（ 1）
其中， ， 当; 初始值为x0=[0.1;0.01;0.04;0.01]; 时系统的Lyapunov 指数分别为0.199716877607294， 0 . 0 0 1 3 3 1 4 4 9 6 4 6 8 3 1 4 6 , - 0.00181670836844162,-3.4133965848029, 其吸引子如图2 所示。
随着参数a 的变化, 系统将处于不同的状态；通过计算该系统的Lyapunov
图1 TiO2 忆阻的电路
图2 系统吸引子平面相图和三维相图033
智能应用
Intelligence Application
电子制作
指数谱( 如图3 所示) 可以观察到系统在不同参数下的运动状态。
3 TiO2 忆阻振荡器系统中的拓扑马蹄
由于Lyapunov 指数对混沌的判定存在误差，尤其是Lyapunov 在零附近。而该系统的最大Lyapunov 为0.1997，第二个为0.0013，更需要进行严格判定。这里首先选取Poincaré 截面，然后定义相应Poincaré 映射如下: 对于内任意一点， 表示以初始值在系统（1）的作用下第一次回到时的交点。利用拓扑马蹄工具箱，通过多次尝试，最终得到其二维拓扑马蹄（如图4），并得到紧子集的顶点坐标。紧子集：
[-13.537500000,-15.899305556]^T， [-13.437500000,-15.982638889]^T ；
[-13.041071429,-15.427083333]^T， [-13.073214286,-15.232638889]^T ；
紧子集：
[-14.126785714,-16.774305556]^T， [ - 1 4 . 0 6 2 5 0 0 0 0 0 , - 1 6 . 8 4 3 7 5 0 0 0 0 ] ^ T ； [ - 1 3 . 9 4 4 6 4 2 8 5 7 , - 1 6 . 6 7 0 1 3 8 8 8 9 ] ^ T ， [-13.994642857,-16.579861111]^T ；
显然，图4 中的二维拓扑马蹄满足且，根据推论1， 存在一个紧不变子集使半共轭于2 位移映射，并且拓扑熵为， 则系统必然是混沌的。
【参考文献】
[1]Strukov D B, Snider G S, Stewart D R, Williams R S. 2008 Nature, 453 80
[2]Wang G Y, He J L. Dynamical B e h a v i o r s o f a T i O
[3]Li ZH J, Ze Y CH. A Memristor Chaotic Circuit Based on Wien-bridge Oscillator. Journal of Electronics & Information Technology, Jan.2014, 1(36):110506
[4]Yang F Y, Leng J L, Li Q D. The 4-dimension hyperchaotic memristor circuit based on Chua’s circuit. Acta Phys.sin. 2014, 8(63):080502
[5] Mischaikow K, Mrozek M 1995 Bulletin of the American Mathematical Society32 66-72
[6]Li Q, Yang X-S, Chen S 2011 International Journal of Bifurcation and Chaos21 1719-1726 English
[7]Li Q, et al. 2013 International Journal of Circuit Theory and ApplicationsDOI: 10.1002/cta.1912
[8]Q. Li and X.-S. Yang, Hyperchaos f r o m t w o c o u p l e d W i e n - b r i d g e oscillators. International Journal of Circuit Theory and Applications, 2008. 36(1): 19-29.1726.
[9]Q. Li, A topological horseshoe in the hyperchaotic Rossler attractor. Physics Letters A, 2008. 372(17): 2989- 2994.
[10]X.S. Yang, Computer Assisted Verification of Chaotic Dynamics. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2009. 19(4): 1127-1145.
[11]Li Q-D.[2008b] A toolbox for finding horseshoes in 2D maps, http:// www.mathworks.com/matlabcentral/ fileexchang/14075
[12]Li Q-D, Tang S 2013 Acta Physica Sinica62 020510
图3 系统随参数a 的Lyapunov 指数谱
图4 系统二维拓扑马蹄034
